Intégration par parties

Soient u et v deux fonctions dérivables, dont les dérivées sont continues.

(uv)' = u'v+uv'\Longleftrightarrow u'v = (uv)'-uv'

(uv)' = u'v+uv'\Longleftrightarrow u'v = (uv)'-uv'

Donc

\int_a^b u'v =\int_a^b( (uv)'-uv')

\int_a^b u'v =\int_a^b( (uv)'-uv')

\int_a^b u'v =\int_a^b (uv)'-\int_a^b uv'

\int_a^b u'v =\int_a^b (uv)'-\int_a^b uv'

\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'

\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'

\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'

\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'

Si déterminer la primitive de u'v s'avère difficile, on peut chercher celle de uv'.

Exemple 1 :

Calculer\;\int_0^1 xe^x dx.

Calculer\;\int_0^1 xe^x dx.

Primitive\;de\; xe^x \;?

Primitive\;de\; xe^x \;?

On est parti pour une petite

intégration par parties...

\int_0^1 xe^x dx.

\int_0^1 xe^x dx.

On\;pose\;u'(x)=e^x\;et\;v(x)=x.

On\;pose\;u'(x)=e^x\;et\;v(x)=x.

On\;a\;donc\;u(x)=e^x\;et\;v'(x)=1.

On\;a\;donc\;u(x)=e^x\;et\;v'(x)=1.

\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'

\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'

\int_0^1 xe^x dx =\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1 e^x dx

\int_0^1 xe^x dx =\left[xe^x\right]_0^1-\int_0^1 e^x dx

=e-\left[e^x\right]_0^1

=e-\left[e^x\right]_0^1

=e-(e-1)

=e-(e-1)

=1

=1

On\;pose\;u'(x)=\cos(x)\;et\;v(x)=x.

On\;pose\;u'(x)=\cos(x)\;et\;v(x)=x.

On\;a\;donc\;u(x)=\sin(x)\;et\;v'(x)=1.

On\;a\;donc\;u(x)=\sin(x)\;et\;v'(x)=1.

\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'

\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'

\int_0^\pi x\cos(x) dx =\left[x\sin(x)\right]_0^\pi-\int_0^\pi \sin(x) dx

\int_0^\pi x\cos(x) dx =\left[x\sin(x)\right]_0^\pi-\int_0^\pi \sin(x) dx

=0-\left[-\cos(x)\right]_0^\pi

=0-\left[-\cos(x)\right]_0^\pi

=\cos(\pi)-\cos(0)

=\cos(\pi)-\cos(0)

Exemple 2 :

Calculer\;\int_0^\pi x\cos(x)dx.

Calculer\;\int_0^\pi x\cos(x)dx.

=-2

=-2

On\;pose\;u'(x)=x\;et\;v(x)=\ln(x).

On\;pose\;u'(x)=x\;et\;v(x)=\ln(x).

On\;a\;donc\;u(x)=\dfrac{x^2}{2}\;et\;v'(x)=\dfrac{1}{x}.

On\;a\;donc\;u(x)=\dfrac{x^2}{2}\;et\;v'(x)=\dfrac{1}{x}.

\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'

\int_a^b u'v =\left[uv\right]_a^b-\int_a^b uv'

\int_1^4 x\ln(x) dx =\left[\frac{x^2\ln(x)}{2}\right]_1^4-\int_1^4 \frac{x}{2} dx

\int_1^4 x\ln(x) dx =\left[\frac{x^2\ln(x)}{2}\right]_1^4-\int_1^4 \frac{x}{2} dx

Exemple 3 :

Calculer\;\int_1^4 x\ln(x)dx.

Calculer\;\int_1^4 x\ln(x)dx.

=8\ln(4)-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^4

=8\ln(4)-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^4

=16\ln(2)-\dfrac{15}{4}

=16\ln(2)-\dfrac{15}{4}

Intégration par parties

Exemple 1 :

Exemple 2 :

Exemple 3 :

Envie d'aller un peu plus loin ?

Exemple 4 : plusieurs IPP

C'est reparti pour un tour...

Retour au calcul initial

yo =)

Calcul intégral : Intégration par parties

Calcul intégral : Intégration par parties

Jean-Marc Kraëber

Intégration par parties

Calcul intégral : Intégration par parties

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