Loi normale centrée réduite
Une variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite notée \(\mathcal{N}(0\;;1)\) si elle a pour densité la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
Activité 4 : De la loi binomiale à la loi normale
Partie A : X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(30 ; 0, 3)
1.Espérance de X :
Imaginons l'expérience aléatoire consistant à répéter 30 fois la même épreuve de Bernouilli de façon indépendante et dont la probabilité du succès est 0,3.
X correspond au nombre de succès et peut prendre toute valeur de 0 à 30.
L'espérance correspond à la moyenne théorique du nombre de succès : si on répète un grand nombre de fois l'expérience, la moyenne des valeurs prises par X va se rapprocher de 9.
Ecart-type de X :
l'écart-type représente une mesure de la dispersion des valeurs de la variable X autour de son espérance mathématique.
En répétant l'expérience précédente un grand nombre de fois X ne prendra pas toujours la valeur 9.
\(\sigma(X)\) peut s'interprété comme l'écart moyen des valeurs prises par X et son espérance.
2. l'histogramme correspondant
3. la somme des aires des rectangles correspond à la somme des probabilités donc est égale à 1.
Partie B : On s'intéresse maintenant à la variable aléatoire \(Y= X-\mu\)
Pour calculer les valeurs prises par Y il suffit de soustraire 9 aux valeurs prises par X :
2. l'histogramme correspondant
3. Espérance et écart-type de Y :
Lorsque l'espérance d'une variable aléatoire est égale à 0, ce qui est le cas de Y on dit qu'elle est centrée.
Partie C : On s'intéresse maintenant à la variable aléatoire \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\)
1. Pour calculer les valeurs prises par Z il suffit de diviser les valeurs de Y par \(\sigma\) soit environ par 2,51 :
2. On vérifie que la différence entre deux valeurs successives prises par Z est égale à
Pour calculer la hauteur de chaque rectangle de l'histogramme de la variable Z il suffit de diviser son aire par 0,4
3. Espérance et écart-type de Z :
Comme Y, la variable Z est centrée.
Lorsque l'écart-type d'une variable aléatoire est égal à 1, ce qui est le cas de Z, on dit qu'elle est réduite.
La variable aléatoire Z est centrée réduite.
En faisant varier n :
plus n augmente, plus le graphique évoque une cloche...
Si une variable aléatoire \(X\) suit la loi normale centrée réduite alors \(E(X)=0\) et \(\sigma(X)=1\)
Loi normale et calculatrice :
TI : 2nde var (distrib)
CASIO : menu Stat. - DIST(F5) - NORM(F1) - Ncd(F2)
Sur CASIO et TI on ne peut calculer que des probabilités du type
Pour calculer par exemple
on calcule
Pour calculer par exemple
on calcule
Le prix de l'ustensile est compris entre 4,84 € et 8,76 € avec une probabilité de 95%.
⇔
a)
⇔
b)
⇔
La probabilité que la baguette de soit pas commercialisable est environ égale à 0,159.
La probabilité que la baguette ait une masse comprise entre 198,04 g et 201,96 g est environ égale à 0,159.
Loi normale centrée réduite
By Jean-Marc Kraëber
Loi normale centrée réduite
Lycée Saint-Exupery
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