Configurations du plan
1.\;ST^2=5,2^2= 27,04
ST²=RS²+RT² donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RST est rectangle en R.
2.\;\cos\hat{S}=\dfrac{RS}{ST}=\dfrac{4,8}{5,2}=\dfrac{12}{13}.
\hat{S}=\arccos\left(\dfrac{12}{13}\right)\approx 22,6°.
\hat{T}=90-\hat{S}\approx 67,4°\;;\hat{R}=90°.
RT^2+RS^2=27,04.
1.\;cos^2(M\hat{L}N)+sin^2(M\hat{L}N)=1
0,6^2+sin^2(M\hat{L}N)=1
0,36+sin^2(M\hat{L}N)=1
sin^2(M\hat{L}N)=1-0,36
sin^2(M\hat{L}N)=0,64
sin(M\hat{L}N)=\sqrt{0,64}
sin(M\hat{L}N)=0,8
N
M
L
10
2.\;\cos\hat{L}=\dfrac{LN}{LM}
0,6=\dfrac{LN}{10}
LN = 0,6\times 10 = 6 \;cm
\;\sin\hat{L}=\dfrac{MN}{ML}
0,8=\dfrac{MN}{10}
MN = 0,8\times 10 = 8 \;cm
MS^2=AM^2+AS^2
1. Le triangle MAS est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore on a
MS^2=x^2+(5-x)^2
MS^2=x^2+25-10x+x^2
MS^2=2x^2-10x+25
2. On a de même :
MR^2=2x^2-10x+25
3. a) H est le projeté orthogonal de R sur (AD) donc :
(RH)\perp (AD)
et\;H\in(AD).
S\in(AD)\;donc\;(SH)\perp(RH).
On en déduit que le triangle RSH est rectangle en H.
3. b)
AS = 5-x\;et\;AH = x\; donc
SH = AH-AS = x-(5-x)=2x-5.
RS^2=RH^2+SH^2.
3. c) Le triangle RSH est rectangle en H, donc d'après le théorème de Pythagore on a
On\;a\;donc\;RS^2=5^2+(2x-5)^2=4x^2-20x+50.
4. Conclusion :
MS^2=2x^2-10x+25\;et\;MR^2=2x^2-10x+25
donc \;MS^2+MR^2=4x^2-20x+50=RS^2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle RSM est rectangle en M et donc
(MS)\perp (MR).
x^2=x^2-20x+100+4900
x^2=(x-10)^2+70^2
20x=5000
x=\dfrac{5000}{20}
x=250
L'échelle mesure 2,5 m.
1. Si un parallélogramme a un angle droit alors c'est un rectangle.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle.
2. Si un rectangle a deux côtés consécutif de même longueur alors c'est un carré.
Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un carré.
3. Oui un carré est a la fois un losange et un rectangle.
...\;\dfrac{2,7}{499,7}=\dfrac{1,75}{h}
h=\dfrac{1,75\times 499,7}{2,7}\approx 324 \;m
Géométrie repérée
Un repère quelconque
Définir un repère du plan, c’est choisir 3 points non alignés dans un ordre précis : O, I, J.
On note ce repère (O, I , J)
(OI) :
(OJ) :
Origine du repère
Repères
Repère orthogonal
Des repères particuliers :
Repère orthonormé
(OI)⊥(OJ)
(OI)⊥(OJ) et OI = OJ
abscisse
du point M
ordonnée
du point M
(xM ; yM) : coordonnées du point M dans le repère (O, I , J).
Exemples : Dans le repère (O, I , J), on a :
O (0 ; 0) ; I (1 ; 0) ; J (0 ; 1) ; A (3 ; 2) ; B (−2 ; 3) et C (−1 ; −2).
Coordonnées du milieu d’un segment
Coordonnées du milieu d’un segment
Soit (O, I , J) un repère du plan et A (xA ; yA) et B (xB ; yB) deux points du plan.
Les coordonnées du milieu I de [AB] sont :
x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}
y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}
I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)
et
Exemples :
1) C(−5 ; 7) et E(9 ; −4) sont deux points du plan muni d'un repère (O ; I, J).
Calculer les coordonnées du milieu K du segment [CE].
x_K=\dfrac{-5+9}{2}
y_K=\dfrac{7+(-4)}{2}
et
x_K=\dfrac{4}{2}
y_K=\dfrac{3}{2}
et
x_K=2
K\left(2 ~;~1,5\right)
y_K=1,5
et
Exemples :
2) M(−1 ; 3) et K(2 ; −3) sont deux points du plan muni d'un repère (O ; I, J).
Soit N le point du plan tel que K soit le milieu du segment [MN]. Calculer les coordonnées du point N.
\dfrac{-1+x_N}{2}=2
\dfrac{3+y_N}{2}=-3
et
-1+x_N=4
3+y_N=-6
et
x_N=5
y_N=-9
et
N(5 ;-9)
Exemples :
3) A(−1 ; 2), B(1 ; 4) et C(7 ; −2) sont trois points du plan muni d'un repère (O ; I, J).
Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Étape 1:
On calcule les coordonnées de K, le milieu de [AC], diagonale du parallélogramme ABCD.
x_K=\dfrac{-1+7}{2}
y_K=\dfrac{2+(-2)}{2}
et
x_K=\dfrac{6}{2}
y_K=\dfrac{0}{2}
et
x_K=3
y_K=0
et
Étape 2:
K étant aussi le milieu de la diagonale [BD], on a :
\dfrac{x_B+x_D}{2}=x_K
\dfrac{y_B+y_D}{2}=y_K
et
\dfrac{1+x_D}{2}=3
\dfrac{4+y_D}{2}=0
et
1+x_D=6
4+y_D=0
et
x_D=5
et
y_D=-4
K(3~;~0)
D(5~;~-4)
V
F
V
F
y_K=\dfrac{3+(-3)}{2}
y_K=0\text{ donc }K\in (OI).
A(1~;3)~;~C(3~;~-3)
x_L=\dfrac{1+(-2)}{2}
x_L=-0,5\neq 0\text{ donc }L\notin (OJ).
A(1~;3)~;~B(-2~;~0)
y_M=\dfrac{0+(-3)}{2}
y_M=-1,5\neq 0\text{ donc }M\notin (OI).
B(-2~;~0)~;~C(3~;~-3)
(A, B et C uniquement)
x_K=\dfrac{1,5+4}{2}=2,75
y_K=\dfrac{8+5}{2}=6,5
et
K\left(2,75 ~;~6,5\right)
Le point D est le symétrique du point A par rapport au point K si et seulement si le point K est le milieu de [AD] :
\dfrac{1+x_D}{2}=2,75
\dfrac{3+y_D}{2}=6,5
et
1+x_D=5,5
et
3+y_D=13
x_D=4,5
et
y_D=10
D\left(4,5 ~;~10\right)
Les diagonales [BC] et [AD] du quadrilatère ABCD ont le même milieu K donc ABCD est un parallélogramme.
2. Le triangle ABC semble isocèle en C.
3.\; AC = \sqrt{(1+3)^2+(-4-3)^2}
AC = \sqrt{65}
BC = \sqrt{(1-2)^2+(-4-4)^2}
BC = \sqrt{65}
AC = BC\text{ donc le triangle ABC}
\text{est isocèle en C.}
2. Dans le repère \( (A\;;B\;,D)\) on a :
A(0\;;0)\;;B(1\;;0)\;;D(0\;;1)\;;
C(1\;;1)\;;E\left(\dfrac{1}{2}\;;1\right)\;;F\left(\dfrac{3}{4}\;;\dfrac{1}{4}\right)\;;
O\left(\dfrac{1}{2}\;;\dfrac{1}{2}\right)\;;
3. Le repère étant orthonormé on peut utiliser la formule de calcul d’une distance :
EF = \sqrt{(x_F-x_E)^2+(y_F-y_E)^2}
EF = \sqrt{\left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{4}-1\right)^2}
EF = \sqrt{\left(\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(-\dfrac{3}{4}\right)^2}
EF = \sqrt{\dfrac{10}{16}}=\sqrt{0,625}
\text{On a de même} \;AF = \sqrt{\dfrac{10}{16}}=\sqrt{0,625}\;et\;AE = \sqrt{\dfrac{5}{4}}=\sqrt{1,25}
4. D'après la question 3., \(EF=AF\) donc le triangle AEF est isocèle en F.
\text{On a de plus} \;AF^2+EF^2 = \dfrac{10}{16}+\dfrac{10}{16} =\dfrac{5}{4}=AE^2
donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle AEF est rectangle en F.
Conclusion : le triangle AEF est isocèle rectangle en F.
2. D’après la figure ci-contre, on peut conjecturer que le quadrilatère est un losange.
3. On peut montrer que [BD] et [AC] se coupent en leur milieu et que AB = BC...
Les points K et L sont confondus donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
AB = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2+\left(2-(-1)\right)^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}
BC = \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(-1-2\right)^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}
On a AB = BC ; Le parallélogramme ABCD a deux côtés consécutifs de même longueur donc c'est un losange.
Configurations du plan : Exercices
By Jean-Marc Kraëber
Configurations du plan : Exercices
Seconde 2019
