Second degré
1 Polynômes du second degré
1.1 Définition
Définition : On appelle polynôme du second degré toute fonction f définie sur ℝ par avec
f(x)=ax^2+bx+c
a\neq 0
Exemples :
- f (x) = 3x² − x + 1 est un polynôme du second degré (a = 3 ; b = −1 et c = 1) Il est écrit sous sa forme développée.
- g (x) = (3x − 2) (1 − x) est un polynôme du second degré. Il est écrit sous sa forme factorisée. En développant, on obtient : g (x) = −3x² + 5x − 2 (a = −3 ; b = 5 et c = −2)
1.2 Forme canonique
Propriété - Définition : Toute fonction polynôme du second degré définie par avec
admet pour forme canonique
où sont les coordonnées du sommet de la parabole qui représente f. De plus : et
f(x)=ax^2+bx+c
a\neq 0
Exemple :
f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta
\alpha\;et\;\beta
\alpha = -\frac{b}{2a}
\beta =f(\alpha)
f(x)=3x^2-6x-2
\alpha = -\frac{-6}{2\times 3}=1
\beta =f(1)=-5
La forme canonique de la fonction f est donc :
f(x) = 3(x − 1)² − 5
1.3 Sens de variation
c'est le signe de a qui détermine les variations de la fonction.
2 Equations du second degré
Remarque : Suivant le signe du discriminant, il peut être possible de factoriser l'expression entre crochets, ce qui permet de résoudre dans le cas général une équation du second degré :
Exemples :
3 Inéquations du second degré
3.1 Signe des polynômes du second degré :
Activité 1 p 21
1)
2)
Propriété : Signe du trinôme
- Si Δ > 0, f est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines.
- Si Δ = 0, f est toujours du signe de a (et s’annule uniquement en x0)
- Si Δ < 0, f est toujours strictement du signe de a.
Exemple : Etude du signe de
f(x)=x^2+4x-5
a = 1, donc a > 0. On calcule Δ :
3.2 Résoudre une inéquation :
Exemple : Résoudre l'inéquation
-3x^2+4x+4\geq 0
On étudie le signe du trinôme
f(x)=-3x^2+4x+4
1ES : Second degré
By Jean-Marc Kraëber
1ES : Second degré
Lycée Saint-Exupery - La Rochelle
