Suites arithmétiques et géométriques
1. Suites arithmétiques
1.1 Définition, exemples
Définition : On dit qu’une suite (un) est arithmétique si on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre réel r.
On a donc : $$ \textcolor{red}{u_{n+1}=u_n+r} $$
Le réel r est alors appelé raison de la suite.
Exemples :
- La suite : 1, 6, 11, 16, 21, . . . est arithmétique de raison 5.
- La suite définie par : est arithmétique de raison (−3).
- La suite des entiers naturels : 0, 1, 2, 3,4, 5, . . . est arithmétique de raison 1.
- La suite des entiers naturels impairs est arithmétique de raison 2.
1.2 Expression en fonction de n
Soit (un) une suite arithmétique de raison r.
Si le premier terme est u0 on a :
u1 = u0 + r
u2 = u1 + r = u0 + 2r
u3 = u2 + r = u0 + 2r + r = u0 + 3r
Plus généralement, on a le résultat suivant :
Théorème : Soit (un) une suite arithmétique de raison r. Alors :
u_n=u_0+nr
u2 = u1 + r
u3 = u2 + r = u1 + 2r
u4 = u3 + r = u2 + 2r + r = u1 + 3r
Plus généralement, on a le résultat suivant :
Théorème : Soit (un) une suite arithmétique de raison r. Alors :
u_n=u_1+(n-1)r
Si le premier terme est u1 on a :
Exemples :
- Soit (un) la suite arithmétique de premier terme u0 = 7 et de raison r = −2.
On a : un = u0 + nr = 7 + n × (−2) = 7 − 2n.
En particulier : u50 = 7 − 2 × 50 = 7 − 100 = −93.
- Soit (vn) la suite arithmétique de premier terme v1 = 3 et de raison r = 1,5.
On a : vn = v1 + (n − 1)r = 3 + (n − 1) × 1,5 = 3 + 1,5n − 1,5
En particulier : v50 = 1,5 × 50 + 1,5 = 75 + 1,5 = 76,5.
On a : vn = 1,5n + 1,5
Remarque :
On peut utiliser une calculatrice ou un tableur pour déterminer les termes consécutifs d'une suite arithmétique.
Exemple d'utilisation d'un tableur :
On veut, à l’aide d’un tableur, obtenir les 50 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u0 = 17 et de raison –5.
- Dans la colonne A, les indices : Dans la cellule A1, on place 0 et dans la cellule A2 on entre la formule =A1+1 et on tire la poignée de recopie jusqu’à A50.
- On place la valeur du premier terme (ici 17) dans la cellule B1.
- Dans la cellule B2, on place la formule =B1– 5 et on tire la poignée de recopie jusqu’à B50.
Exemple d'utilisation de la calculatrice :
On veut, à l’aide d’une calculatrice, obtenir les 10 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u0 = 17 et de raison –5
1. Mettre sa calculatrice en mode suite
TI : mode
CASIO : mode RECUR
2. Entrer la suite comme une fonction :
TI :
CASIO :
Entrée de u0 : F5 : SET UP
3. Afficher le tableau de valeurs :
TI : 2nde graphe
CASIO : F6 TABL
EX 1 p 48 :
(un) est une suite arithmétique de premier terme u0 = 1 et de raison r = 5.
Calculer les termes u1, u2 et u3 puis calculer u5.
u_n = u_0+nr
u_1 = u_0+r = 1 + 5 = 6
u_2 = u_0+2r = 1 + 2\times 5 = 1+10=11
u_3 = u_0+3r = 1 + 3\times 5 = 1+15=16
u_5 = u_0+5r = 1 + 5\times 5 = 1+ 25=26
EX 5 p 48 :
(vn) est une suite arithmétique de premier terme v1 = 12 et de raison r = –3.
- Calculer les termes v2, v3 et v4.
- Calculer V6.
v_n = v_1+(n-1)r
v_2 = v_1+r = 12-3=9
v_3 =v_1+2r = 12 + 2\times (-3) = 12-6=6
v_4 = v_1+3r = 12 + 3\times (-3) = 12-9=3
v_6 = v_1+5r = 12 + 5\times (-3) = 12-15=-3
EX 6 p 48 :
(un) est une suite arithmétique telle que u0 = 78 et u1 = 84.
Déterminer sa raison.
u_1 = u_0+r
84 = 78+r
r = 84 - 78 = 6
EX 9 p 48 :
(un) est une suite arithmétique telle que un+1 = un – 15
pour entier naturel n
Déterminer sa raison.
u_{n+1} -u_n= -15
La raison de la suite (un) est –15.
Donner l'expression du terme général de la suite (un) c'est exprimer un en fonction de n.
u_n = u_0+nr
u_n = 7+n\times (-5) = 7-5n
u_9 = 7-5\times 9 = 7 - 45 = -38
Le dixième terme est u9.
u_n = u_1+(n-1)r
u_n =-11+(n-1)\times 15 = -11+15n-15=15n-26
u_{21} =15\times21-26=289
2. Suites géométriques
2.1 Définition, exemples
Définition : On dit qu’une suite (un) est géométrique si on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre réel q.
On a donc : $$ \textcolor{red}{u_{n+1}=q\times u_n} $$
Le réel q est alors appelé raison de la suite.
Exemples :
- La suite : 1, 2, 4, 8, 16, . . . est géométrique de raison 2.
- La suite définie par : est géométrique de raison 0,75.
C_{n+1}=1,04C_n.
- Un capital (Cn) est placé à intérêt composé de 4%. On a C’est donc une suite géométrique de raison 1, 04.
2.2 Expression en fonction de n
Soit (un) une suite géométrique de raison q.
Plus généralement, on a le résultat suivant :
Théorème : Soit (un) une suite géométrique de raison q. Alors : $$ \textcolor{red}{u_n=u_0\times q^n} $$
u_\textcolor{red}{1}=u_0\times \textcolor{red}{q}
u_\textcolor{red}{2}=u_1\times q=u_0\times q\times q=u_0\times q^\textcolor{red}{2}
u_\textcolor{red}{3}=u_2\times q=u_0\times q^2\times q=u_0\times q^\textcolor{red}{3}
Si le premier terme est u0 on a :
Plus généralement, on a le résultat suivant :
Théorème : Soit (un) une suite géométrique de raison q. Alors : $$ \textcolor{red}{u_n=u_1\times q^{n-1}} $$
u_\textcolor{red}{2}=u_1\times \textcolor{red}{q}
u_\textcolor{red}{3}=u_2\times q=u_1\times q\times q=u_1\times q^\textcolor{red}{2}
u_\textcolor{red}{4}=u_3\times q=u_1\times q^2\times q=u_1\times q^\textcolor{red}{3}
Si le premier terme est u1 on a :
Exemples :
- Soit (un) la suite géométrique de premier terme u0 = 80 et de raison q = 1,1.
- Soit (vn) la suite géométrique de premier terme v1 = 100 et de raison q = 0,8.
On a :
u_n=u_0\times q^n=80\times 1,1^n
u_{10}=80\times 1,1^{10}\approx 207,5.
On a :
v_n=v_1\times q^{n-1}=100\times 0,8^{n-1}
En particulier :
v_{10}=100\times 0,8^{9}\approx 13,42.
En particulier :
EX 26 p 49 :
(vn) est une suite géométrique de premier terme v0 = 1 et de raison q = 2.
Calculer les termes v1, v2 et v3 puis calculer v5.
v_n = v_0\times q^n
v_1 = v_0\times q = 1\times 2 = 2
v_2 =v_0\times q^2 = 1 \times 2^2=4
v_5 =v_0\times q^5 = 1 \times 2^5=32
v_3 =v_0\times q^3 = 1 \times 2^3=8
EX 28 p 49 :
(wn) est une suite géométrique de premier terme w1 = 5 et de raison q = 3.
Calculer les termes w2, w3 et w4 puis calculer w6.
w_n =w_1\times q^{n-1}
w_2 = w_1\times q =5 \times 3 = 15
w_3 = w_1\times q^2 =5 \times 3^2 = 45
w_4 = w_1\times q^3 =5 \times 3^3 = 135
w_6 = w_1\times q^5 =5 \times 3^5 = 1215
On veut calculer la somme des k premiers termes d’une suite arithmétique ou géométrique.
Si le premier terme est u0 :
\textcolor{red}{S=u_0 + u_1+...+u_{k-1}}
3. Sommes des premiers termes d'une suite arithmétique ou géométrique
Si le premier terme est u1 :
\textcolor{red}{S=u_1 + u_1+...+u_k}
Remarque : On peut utiliser un tableur ou une calculatrice pour calculer ces sommes.
Exemples d'utilisation de la calculatrice :
1. On veut, à l’aide d’une calculatrice, calculer la somme des 13 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u0 = 2 et de raison 3 :
1. Exprimer un en fonction de n
S=u_0 + u_1+...+u_{12}
u_n= u_0+n\times r=2+3n
TI : 2nde 0 (catalog) ln (s)
CASIO : Menu RUN MAT
F4 F6 F2
2. Utiliser le terme général de la suite et la fonction somme de la calculatrice :
2. On veut, à l’aide d’une calculatrice, calculer la somme des 10 premiers termes de la suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison 3 :
1. Exprimer un en fonction de n
S=u_0 + u_1+...+u_9
u_n= u_0\times q^n = 2\times 3^n
TI : 2nde 0 (catalog) ln (s)
CASIO : Menu RUN MAT
F4 F6 F2
2. Utiliser le terme général de la suite et la fonction somme de la calculatrice :
TSTMG : Suites arithmétiques et géométriques
By Jean-Marc Kraëber
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Lycée Saint-Exupery
