O (landau symbol) について

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今日話したいこと

• O (landau symbol) について

気が狂って数学っぽい話

身近な用途

計算量のあたりをつけるのに使う記号

よくある用途

• 最良の計算量はでどれくらい？
• 最悪の計算量はでどれくらい？
• 最悪の計算量はでどれくらい？

例えば、二分探索

• 最良は、１発正解なので、O(1)
• 最悪は、最後まで当たらんことなので、半分ずっこずつけずって探して行くので、、O(log2(n))
• 平均は、ごにょごにょして、O((1+1/n)log n)

O(landau symbol)

DEFINITION

x = a の十分近くで、ある正数cが存在して、
|f(x)| <= c |g(x)| となるとき

f(x) = O(g(x)) when x -> a

と表す

租借すると

• x=aの近くでf(x)がg(x)の定数倍に抑えられている

• 元のfが"複雑"な時、扱いやすいような基本的な関数 g で表すこと考える

• gがよりfに近いと、いいあたりになってる

小まとめ

• ランダウ記号は、あたりを表すための道具

ところで

あたりをつけると言えば、微分

テイラー展開

• xがaに十分に近いなら多項式の和で表せる
• 適当な範囲では、多項式で表せる

f(x) = Σdf^n/dx(a) * 1/n! (x - a)^n  when x -> a

ちょっとこれだと、項が多すぎて扱いずらいなら ランダウ記号で項を落とす

f(x) = df/dx(a) + O(x^2) when x -> a

雑談

• 微分、計算カンタンで、精度最高で最高
• 他方、平均の計算量もとめようとすると、ただ積分することになるから、積分だから面倒。ただの愚痴

話を戻す

よくある用途

• 最良の計算量はでどれくらい？
• 最悪の計算量はでどれくらい？
• 最悪の計算量はでどれくらい？

どれくらいの計算量か肌感を知りたいなら、 まずは抑える関数を知っておく

上から順に素敵

• 定数関数 O(1) / 最高の世界観
• 対数関数 O(log n)
• だいたい線形 O(n log n)
• 線形(１次多項式） O(n)
• 多項式 O(n^2)..
• 指数関数 O(e^n)
• 階乗関数 O(n!)

• 定数関数 O(1) / 最高の世界観

以上

ご清聴ありがとうございました。

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