向量、矩陣

Lecturer: 立葉

建北電資運算思維小社課 Lesson 5

基礎定義
空間概念（帶過）
斜坐標系
向量內積
柯西不等式（好東西）

平面向量(vECTOR)

向量的基本性質！

向量由其大小和方向決定，不在意起點與終點。
向量的圖示：在起點和終點上面畫一個箭頭來表示，如： $\overrightarrow{AB}$ 。為了方便表示，也可以一個字母如 $\overrightarrow{a}$ 來表示。
向量的量值：以 $|\overrightarrow{AB}|$ 來表示。
特殊的向量：
- 反向量：若一向量與另一向量的量值相同而方向相反，則稱其互為反向量。
- 零向量：量值為零的向量，記為 $\overrightarrow{0}$ 。其可視作任意方向。
在生活(aka 物理)上的應用：包括位移、速度、加速度、力等等，都是向量！

平面座標系上的向量

一般來說，我們會令一平面上的向量 $\overrightarrow{a}$ 的起點為 $(0, 0)$
在這樣的情況時，令它的終點為 $(x, y)$
則我們可以將其表示為 $\overrightarrow{a} = (x, y)$ 了呢！
當然，如果原點不是起點，那麼該向量為 (終點座標 - 起點座標)
從這種表示方式也可以很輕易地發現，一個向量的量值是 $\sqrt{x^2+y^2}$ 。

以左圖這個向量為例
$\overrightarrow{u} = (1, 3)$
$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{10}$

向量的加減運算與係數積

設兩個向量 $\overrightarrow{a} = (x_1, y_1), \overrightarrow{b} = (x_2, y_2)$ ，則：
- $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x_1 + x_2, y_1+ y_2)$
- $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (x_1 - x_2, y_1- y_2)$
- $r\overrightarrow{a} = (ra_1, ra_2)$ ，其中 $r$ 為實數
- 向量與向量的「乘法」？後面會提到！

向量加減的幾何意義

設兩個向量 $\overrightarrow{a} = (1, 3), \overrightarrow{b} = (2, 1)$ 。我們來把它具象化一下：

而我們由上頁對於向量的加減定義可得知：
- $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (3, 4)$
- $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (-1, 4)$

向量加減的幾何意義

仔細觀察它們的圖形，你可以發現：
兩個向量的加法就是物理課所謂「三角形平移法」或「四角形對角線法」的實現！(對名字我亂掰的

至於向量的減法，對於初學者可能較不直觀，但其實真的很直觀
設 $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ ，我們稍微將這個式子平移一下，得到 $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{v}$
所以這樣就變直觀ㄌ！

小小的例題

一個質點以速率 30 m/s的速度碰撞牆壁，並在 0.2 s 內以相同速率反射出去，如圖所示。請求出這顆球碰撞牆壁時所受到的加速度量值？

$30$

黃色線段 = $\sqrt{30^2+30^2-2\times30\times30\times\cos120\degree} \\ = 30\sqrt{3}$

ans: $150\sqrt{3} m/s^2$

向量間的關係

平行向量：
- 設兩個向量 $\overrightarrow{a} = (x_1, y_1), \overrightarrow{b} = (x_2, y_2)$
- 則 $\overrightarrow{a} // \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} = r\overrightarrow{b}$
單位向量(長度為1的向量)：
- $\overrightarrow{a} = \pm |\overrightarrow{a}|\overrightarrow{e}$
- $\overrightarrow{e} = \pm\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$

向量的線性組合特性

在一平面座標上，設兩個向量 $\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$ ，若此兩向量不平行，則任一向量 $\overrightarrow{c}$ 都可以 $r\overrightarrow{a} + s\overrightarrow{b}$ 表示！
例如：
- 將向量 $\overrightarrow{c} = (-7, -1)$ 表示成兩不平行向量 $\overrightarrow{a} = (1, -2)$ 與 $\overrightarrow{b} = (-3, 1)$ 的線性組合。

ans: $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}$

我們可以設 $\overrightarrow{c} = r\overrightarrow{a} + s\overrightarrow{b}$

接下來列二元一次聯立方程式，得到

\begin{aligned} \begin{cases} r-3s = -7 \\ -2r+s = -1 \\ \end{cases} \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{cases} r-3s = -7 \\ -2r+s = -1 \\ \end{cases} \end{aligned}

解方程式，得到 r=2, s=3

向量的線性組合

我們把它們分別改成 $2\overrightarrow{a}$ 和 $3\overrightarrow{b}$ ，並把 $3\overrightarrow{b}$ 稍微平移一下，就可以發現我們已經成功用這兩個向量表示 $\overrightarrow{c}$ 了呢！
~~其實這頁目前沒什麼要講的，只是要告訴你它很漂亮~~
~~順便埋個伏筆~~

向量與斜座標系統

事實上，我們可以使用兩個不平行的向量來創立一個新的斜座標系統！
令 $\overrightarrow{a} = (1, 0)，\overrightarrow{b} = (0, 1)$
那麼這時候 $\overrightarrow{c} = x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}$ 的座標就是 $(x, y)$
也可以從這個角度去發現 $x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}$ 可以表示出平面上任一向量
不知道也不太會怎麼樣，但知道了會很有用

畫出來就像這樣！

小小的例題

以下是一個正六邊形ABCDEF，請以 $\overline{AB} = \overrightarrow{a}$ 和 $\overline{BC} = \overrightarrow{b}$ 表示 $\overline{AE}$ 和 $\overline{EC}$ 。

ans:

$\overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{EC} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$

多維空間ㄉ向量

~~我原本想塞一點空間概念，但我沒時間~~
對於一個 n 維的向量 $\overrightarrow{v}$ ，我們可以寫作 $\overrightarrow{v} = R^n$
然後對於這個向量 $\overrightarrow{v}$ ，它的座標是 $(a_1, a_2, \dotsb, a_n)$ ，

量值是 $\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {a_i}^2}$

向量內積

也就是「點積」！
向量內積是一個純量。
定義為 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2$
對於超過三維的向量，我們只能以 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \displaystyle\Sigma_{i=1}^{n} a_ib_i$ 表示
在物理課中學到的功，就是力和位移的內積！

內積也是 $\overrightarrow{a}$ 投影到 $\overrightarrow{b}$ 的量值乘以 $|\overrightarrow{b}|$ ！
將 $\overrightarrow{a}$ 投影到 $\overrightarrow{b}$ ，則：
- 其投影的向量量值為 $\left(\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} }{|\overrightarrow{b}|}\right)$
- 其投影的向量本人為 $\left(\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} }{|\overrightarrow{b}|^2}\right)\overrightarrow{b}$

小小的例題

已知三角形 ABC 的三邊長為 $\overline{AB} = 7, \overline{BC}=5, \overline{CA} = 8$ ，求
- $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$
- $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$

ans: 44; -5

忘記餘弦定理的點我(雖然那邊的簡報我做的很懶蛋)

柯西不等式

向量形式：
- $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \geq |\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$
實數形式：
- $({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2)^2$
- 其中等式成立於 $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$
也能推廣到多維！
- $(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_iy_i)^2\ \leq (\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2)(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {y_i}^2)$
- 等式成立於 $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \dotsb = \frac{x_n}{y_n}$

用柯西不等式來證明相關係數 $r$ 的範圍!?

忘記相關係數的點我
我們知道 $-1 \leq r \leq 1$
我們的證明方式可以土法煉鋼，把所有東西展開（有時間我在之前的簡報會放證明）
而這邊可以用柯西不等式！

(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_iy_i)^2\ \leq (\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2)(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {y_i}^2) \\ \frac{(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_iy_i)^2}{(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2)(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {y_i}^2) } \leq 1 \\ -1 \leq \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_iy_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {y_i}} = \frac{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}}\sqrt{S_{YY}}} \leq 1 \\

(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_iy_i)^2\ \leq (\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2)(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {y_i}^2) \\ \frac{(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_iy_i)^2}{(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2)(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {y_i}^2) } \leq 1 \\ -1 \leq \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_iy_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {x_i}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {y_i}} = \frac{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}}\sqrt{S_{YY}}} \leq 1 \\

小小的例題

設兩向量 $\overrightarrow{a} = (x, y)$ 與 $\overrightarrow{b} = (p, q)$ ，若 $|\overrightarrow{a}| = 2, |\overrightarrow{b}| = 6$ ，求 $px + qy$ 的最大值。

設 $P(x, y) 為直線 \(L: 3x + 5y - 4 = 0$ 上的任一點，求 $3x^2 + 5y^2$ 之最小值及此時數對 $(x, y)$ 。

ans: 12

ans: 2； $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

求 $y = \sqrt{2x-1} + \sqrt{5-3x}$ 的最大值及此的 $x$ 值。

ans: $\sqrt{\frac{35}{6}}$ ； $x = \frac{29}{30}$

向量的應用：重心公式

想必各位應該都還記得重心是什麼吧：）
我們從向量的角度去探討重心
三角形 ABC，我們設 $A(a_1, a_2), B(b_1, b_2), C(c_1, c_2)$ ，並設其重心為點G。

G(\frac{a_1+b_1+c_1}{3}, \frac{a_2+b_2+c_2}{3}) \\ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC} \\ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \\

G(\frac{a_1+b_1+c_1}{3}, \frac{a_2+b_2+c_2}{3}) \\ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC} \\ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \\

向量的應用：兩向量所張的平行四邊形的面積

從之前學到的正弦定理，我們知道
三角形 ABC 的面積為 $\frac{1}{2} bc\sin\theta$
從另一個角度來看，我們可以把其中兩個邊長設為 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$
那麼，由這兩個向量所張出的平行四邊形面積就是 $bc \sin \theta$ ！
那麼就會有以下的式子：

$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin\theta$

= $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1-\cos^2\theta}$

= $\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2\cos^2\theta}$

= $\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2-(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}$

二階與三階行列式
二 / 三元一次方程式克拉瑪公式
向量外積
平行四面形 / 平行六面體

行列式

二階行列式

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix} = ad - bc

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix} = ad - bc

一些雜七雜八性質：
- 行列互換，值不變
- 兩行 / 兩列互換，值變號
- 任一行 / 列，可提出公因數
- 任一行 / 列乘以 $r$ 並加到另一行 / 列，其值不變
- 可以拆項

\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 + rb_1 & b_1 \\ a_2 + rb_2 & b_2 \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 + rb_1 & b_1 \\ a_2 + rb_2 & b_2 \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 + ra_2 & b_1 + rb_2 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 + ra_2 & b_1 + rb_2 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} a_1 & b_1 + c_1 \\ a_2 & b_2 + c_2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} a_1 & b_1 + c_1 \\ a_2 & b_2 + c_2 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \\ \end{vmatrix}

小小的例題

\begin{vmatrix} 2021 & 110 \\ 2022 & 111 \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 2021 & 110 \\ 2022 & 111 \\ \end{vmatrix}

請算出以下行列式的值：

\begin{vmatrix} \sqrt{5}+\sqrt{11}+\sqrt{17} & \sqrt{11} \\ \sqrt{5}+\sqrt{11}-\sqrt{17} & \sqrt{5}+\sqrt{17} \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} \sqrt{5}+\sqrt{11}+\sqrt{17} & \sqrt{11} \\ \sqrt{5}+\sqrt{11}-\sqrt{17} & \sqrt{5}+\sqrt{17} \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 2021 & 110 \\ 2022 & 111 \\ \end{vmatrix} = 1911

\begin{vmatrix} 2021 & 110 \\ 2022 & 111 \\ \end{vmatrix} = 1911

\begin{vmatrix} \sqrt{5}+\sqrt{11}+\sqrt{17} & \sqrt{11} \\ \sqrt{5}+\sqrt{11}-\sqrt{17} & \sqrt{5}+\sqrt{17} \\ \end{vmatrix} = -23

\begin{vmatrix} \sqrt{5}+\sqrt{11}+\sqrt{17} & \sqrt{11} \\ \sqrt{5}+\sqrt{11}-\sqrt{17} & \sqrt{5}+\sqrt{17} \\ \end{vmatrix} = -23

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix} = 2015

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix} = 2015

，求

\begin{vmatrix} 2a & 2b \\ 2c & 2d \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} c & 2c + 3d \\ a & 2a + 3b \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 2a & 2b \\ 2c & 2d \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} c & 2c + 3d \\ a & 2a + 3b \\ \end{vmatrix}

？

ans: 2015

行列式的應用：平行四邊形的面積

設向量 $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2), \overrightarrow{b} = (b_1, b_2)$ ，則由 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 所張成的平行四邊形面積為：

|\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix}|

|\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix}|

~~對ㄚ我就懶得排版~~

\begin{aligned} \begin{matrix} & = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2} \\ & = \sqrt{({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)-(a_1a_2+b_1b_2)^2} \\ & = \sqrt{({a_1}^2{a_2}^2+{a_1}^2{b_2}^2+{a_2}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2)-({a_1}^2{a_2}^2+2a_1a_2b_1b_2+{b_1}^2{b_2}^2)} \\ & = \sqrt{{a_1}^2{b_2}^2-{a_2}^2{b_1}^2-2a_1a_2b_1b_2} \\ & = \sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2} \\ & = |\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} | \\ \end{matrix} \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{matrix} & = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2} \\ & = \sqrt{({a_1}^2+{a_2}^2)({b_1}^2+{b_2}^2)-(a_1a_2+b_1b_2)^2} \\ & = \sqrt{({a_1}^2{a_2}^2+{a_1}^2{b_2}^2+{a_2}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2)-({a_1}^2{a_2}^2+2a_1a_2b_1b_2+{b_1}^2{b_2}^2)} \\ & = \sqrt{{a_1}^2{b_2}^2-{a_2}^2{b_1}^2-2a_1a_2b_1b_2} \\ & = \sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2} \\ & = |\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{vmatrix} | \\ \end{matrix} \end{aligned}

~~要看ㄉ自己看~~

二元一次聯立方程式克拉瑪公式

我們在此定義三個東西：

\begin{aligned} \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \\ \end{cases} \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \\ \end{cases} \end{aligned}

\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2\\ \end{vmatrix}

\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2\\ \end{vmatrix}

\Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2\\ \end{vmatrix}

\Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2\\ \end{vmatrix}

\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2\\ \end{vmatrix}

\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2\\ \end{vmatrix}

使用 $\Delta$ 來判斷x, y的解情況！
$\Delta \neq 0$ ，則x, y有唯一解
$\Delta = 0$ ，則再分成兩種情況：
- $\Delta_x, \Delta_y = 0$ ，則x, y有無限多組解
- $\Delta_x, \Delta_y$ 有任一不為0，則x, y無解

若 $\Delta \neq 0$ ，則：
- $x = \frac{\Delta_x}{\Delta}$
- $y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$

三階行列式

\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix} \\ = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 \\ - a_3b_2c_1 - b_3c_2a_1 - c_3a_2b_1

\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix} \\ = a_1b_2c_3 + b_1c_2a_3 + c_1a_2b_3 \\ - a_3b_2c_1 - b_3c_2a_1 - c_3a_2b_1

\begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & a_3 & b_3 \\ \end{matrix}

\begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & a_3 & b_3 \\ \end{matrix}

三階行列式的性質

基本上都跟二階行列式一樣
三階行列式降階成為二階：依據某一行 / 列！

\begin{vmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = -4\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = -4\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = -4\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = -4\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = -4\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \\ \end{vmatrix} -6\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{vmatrix} = -4\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \\ \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \\ \end{vmatrix} -6\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \\ \end{vmatrix}

變號的時候要依據這張表格

用處？

計算形如

\begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1001 & 107 & 789 \\ \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 1001 & 107 & 789 \\ \end{vmatrix}

的三階行列式會方便很多

三元一次聯立方程式克拉瑪公式

我們在此定義四個東西：

\begin{aligned} \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z= d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \\ \end{cases} \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z= d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \\ \end{cases} \end{aligned}

\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_3 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix}

\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_3 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix}

使用 $\Delta$ 來判斷x, y, z的解情況！
$\Delta \neq 0$ ，則x, y, z有唯一解
$\Delta = 0$ ，則再分成兩種情況：
- $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z = 0$ ，則x, y, z 可能無解，也可能無限多組解
- $\Delta_x, \Delta_y\, \Delta_z$ 有任一不為0，則x, y, z 無解

若 $\Delta \neq 0$ ，則：
- $x = \frac{\Delta_x}{\Delta}$
- $y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$
- $z = \frac{\Delta_z}{\Delta}$

\Delta_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_3 \\ d_3 & b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix}

\Delta_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_3 \\ d_3 & b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix}

\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_3 \\ a_3 & d_3 & c_3 \\ \end{vmatrix}

\Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_3 \\ a_3 & d_3 & c_3 \\ \end{vmatrix}

\Delta_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_3 \\ a_3 & b_3 & d_3 \\ \end{vmatrix}

\Delta_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_3 \\ a_3 & b_3 & d_3 \\ \end{vmatrix}

結論：使用克拉瑪公式解聯立方程式不一定比較方便。

但它判斷解數的情況比較快速

向量外積

是一個向量，只有在空間中才有辦法定義！
寫法為 $\times$
為 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的公垂向量，姑且設它為 $\overrightarrow{n} = (x, y, z)$
根據內積，我們可以得到下面這個聯立方程式：

\begin{aligned} \begin{cases} x_1x + y_1y + z_1z = 0 \\ x_2x + y_2y + z_2z = 0 \\ \end{cases} \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{cases} x_1x + y_1y + z_1z = 0 \\ x_2x + y_2y + z_2z = 0 \\ \end{cases} \end{aligned}

然後根據上面二元一次方程式的克拉瑪公式，整理可得到：

\begin{aligned} \begin{cases} x_1x + y_1y = -z_1z \\ x_2x + y_2y = -z_2z \\ \end{cases} \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{cases} x_1x + y_1y = -z_1z \\ x_2x + y_2y = -z_2z \\ \end{cases} \end{aligned}

x:y:z =\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix} :\begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \\ \end{vmatrix} :\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}

x:y:z =\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix} :\begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \\ \end{vmatrix} :\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}

\overrightarrow{n} =k(\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \\ \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix})

\overrightarrow{n} =k(\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \\ \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix})

向量外積定義為 $k=1$ 時的 $\overrightarrow{n}$
方向性：右手法則
物理課學到的力矩，就是一種外積！

空間中兩向量所張成的面積

在前面，我們有提到兩向量所張成的平行四邊形面積
而在空間中，我們可以把這個式子化成
然後你就會發現 :flushed:

\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2} \\ =\sqrt{(\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix})^2 + (\begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \\ \end{vmatrix})^2 + (\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix})^2 }

\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2} \\ =\sqrt{(\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix})^2 + (\begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \\ \end{vmatrix})^2 + (\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix})^2 }

\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}

\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}

\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2} \\ =\sqrt{(\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix})^2 + (\begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \\ \end{vmatrix})^2 + (\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix})^2 } \\ = |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|

$\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$

空間中三向量所張成的平行六面體體積

延續上頁，所以我們的平行四邊形面積其實可以一個向量 $\overrightarrow{t} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ 表示
這時候，體積 = 底面積 $\times$ 高
我們的高可以 $|\overrightarrow{c}| \cos\theta$ 表示

$\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{c}$

|(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}| \\ = |(\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \\ \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}) \cdot (x_3, y_3, z_3)|\\ = |\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \\ \end{vmatrix}|

|(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}| \\ = |(\begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \\ \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}) \cdot (x_3, y_3, z_3)|\\ = |\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \\ \end{vmatrix}|

體積 = $||\overrightarrow{t}||\overrightarrow{c}|\cos\theta| = |\overrightarrow{t} \cdot \overrightarrow{c}| = |(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c}|$
然後把所有的行列式都帶進來，你可以得到：

線性代數

\begin{aligned} \begin{cases} x-3y = -7 \\ -2x+y = -2 \end{cases} \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{cases} x-3y = -7 \\ -2x+y = -2 \end{cases} \end{aligned}

行的圖像

x\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix} +y\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -7 \\ 2 \\ \end{bmatrix}

x\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix} +y\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -7 \\ 2 \\ \end{bmatrix}

線性組合

矩陣

把一群數字 / 文字排成矩形陣列
表示法：

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dotsb & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dotsb & a_{2n} \\ \dotsb & \dotsb & & \dotsb \\ a_{m1} & a_{m2} & \dotsb & a_{mn} \\ \end{bmatrix}

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dotsb & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dotsb & a_{2n} \\ \dotsb & \dotsb & & \dotsb \\ a_{m1} & a_{m2} & \dotsb & a_{mn} \\ \end{bmatrix}

或簡記為

A = [a_{ij}]_{m \times n}

A = [a_{ij}]_{m \times n}

其中在第 $i$ 列和第 $j$ 行的元素為 $a_{ij}$

同階矩陣：列數、行數皆相同的兩個矩陣
矩陣相等：列數、行數相同，且所含元素也相同

各種矩陣

方陣：列數、行數相同
列矩陣： $m=1$ / 行矩陣： $n=1$
轉置矩陣：將 A 行列互換，記為 $A^T$
對稱方陣： $A = A^T$
反對稱方陣： $A = -A^T$
三角矩陣：上三角、下三角、對角

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix}

2 x 2 方陣

3 x 3 方陣

v = \begin{bmatrix} 11 \\ 21 \\ 31 \\ \end{bmatrix}

v = \begin{bmatrix} 11 \\ 21 \\ 31 \\ \end{bmatrix}

列矩陣 / 行矩陣可以視為列向量 / 行向量

如右圖所示

它是三維向量

也是 3 x 1 的矩陣

$R^n = R^{n\times1}$

v = \begin{bmatrix} 11 & 12 & 13\\ 21 & 22 & 23\\ 31 & 32 & 33\\ \end{bmatrix}

v = \begin{bmatrix} 11 & 12 & 13\\ 21 & 22 & 23\\ 31 & 32 & 33\\ \end{bmatrix}

可以把矩陣視為向量的組合體！

列向量 $\overrightarrow{A_1}$

列向量 $\overrightarrow{A_2}$

列向量 $\overrightarrow{A_3}$

v = \begin{bmatrix} \overrightarrow{A_1}\\ \overrightarrow{A_2}\\ \overrightarrow{A_3}\\ \end{bmatrix}

v = \begin{bmatrix} \overrightarrow{A_1}\\ \overrightarrow{A_2}\\ \overrightarrow{A_3}\\ \end{bmatrix}

可以寫成這樣！

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix}

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ \end{bmatrix}

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{bmatrix}

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 7 \\ 5 & 7 & 8 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 7 \\ 5 & 7 & 8 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 0 & 2 & 5 \\ -2 & 0 & 7 \\ -5 & -7 & 0 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 0 & 2 & 5 \\ -2 & 0 & 7 \\ -5 & -7 & 0 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{bmatrix}

上三角矩陣

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix}

下三角矩陣

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{bmatrix}

對角矩陣

矩陣加法

當兩個矩陣的行數、列數相同時，加法才具有意義！
- 做法：將每個相同位置的元素加起來
- 減法當然就是反過來囉
係數積：rA 的每個元素都是 A 裡面每個元素的 r 倍

\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 7 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 7 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 10 \\ 11 & 5 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 7 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 7 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 10 \\ 11 & 5 \\ \end{bmatrix}

3\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 4 & -7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 15 \\ 12 & -21 \\ \end{bmatrix}

3\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 4 & -7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 15 \\ 12 & -21 \\ \end{bmatrix}

小小的例題

A = [a_{ij}]_{2\times2}，a_{ij} = i+j\\ B = [b_{ij}]_{2\times2}，b_{ij} = i-j\\ C = [c_{ij}]_{2\times2}，c_{ij} = i\times j\\ A + B - C = ? \\

A = [a_{ij}]_{2\times2}，a_{ij} = i+j\\ B = [b_{ij}]_{2\times2}，b_{ij} = i-j\\ C = [c_{ij}]_{2\times2}，c_{ij} = i\times j\\ A + B - C = ? \\

ans:

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}

矩陣乘法

對於 A x B，其中A為 $m \times p$ ，B為 $q \times n$ ，則我們定義
- 當 $p = q$ ，也就是 A 的列數恰為 B 的行數， A x B 才有意義
- 有意義時，A x B 為 $m \times n$ 的矩陣！
- 作法如下：

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \\ 5 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 23 & 7 \\ 34 & 16 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \\ 5 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 23 & 7 \\ 34 & 16 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \\ 5 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \\ 5 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 7 & 3 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 7 & 3 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}

$c_{11} = 1\times7 + 2\times(-1) = 5$

$c_{12} = 1\times3 + 2\times1 = 5$

對於 $C = A \times B$ ，

$c_{ij} = (A的第i列) \cdot (B的第j行) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$

矩陣乘法

有兩個矩陣 A, B 如下，則

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{bmatrix}

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ \end{bmatrix}

$A \times B \in R^{2 \times 2}$
$B \times A \in R^{3 \times 3}$

看到這邊相信各位已經體悟到，矩陣乘法沒有交換律ㄛ

方程的矩陣形式

有了矩陣乘法，我們就可以把以下的方程組寫成矩陣了：

\begin{aligned} \begin{cases} 1x + 2y + 3z = 6 \\ 2x + 5y + 2z = 4 \\ 6x - 3y + 1z = 2 \\ \end{cases} \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{cases} 1x + 2y + 3z = 6 \\ 2x + 5y + 2z = 4 \\ 6x - 3y + 1z = 2 \\ \end{cases} \end{aligned}

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 6 & -3 & 1\\ \end{bmatrix}

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 6 & -3 & 1\\ \end{bmatrix}

x= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}

x= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}

將這 9 個係數提出來變成矩陣，成為我們的係數矩陣 A
然後 x, y, z 三個未知數也形成了行向量 x
三行的解則形成了行向量 b
根據矩陣乘法的定義，我們可以很簡潔的將上面的方程組寫成：

b = \begin{bmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \\ \end{bmatrix}

b = \begin{bmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \\ \end{bmatrix}

Ax = b

Ax = b

單位矩陣

我們來介紹一個矩陣：

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}

對於此矩陣 $I$ ， $AI = A, IB = B$ 恆成立

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}

單位矩陣

單位矩陣就是形如下面的方陣：

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dotsb & 0 \\ 0 & 1 & \dotsb & 0 \\ \dotsb & \dotsb & \ddots & \dotsb \\ 0 & 0 & \dotsb & 1 \\ \end{bmatrix}

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \dotsb & 0 \\ 0 & 1 & \dotsb & 0 \\ \dotsb & \dotsb & \ddots & \dotsb \\ 0 & 0 & \dotsb & 1 \\ \end{bmatrix}

其中，我們可以 $I_n$ 來表示 $I$ 是 $n$ 的方陣

I_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ \end{bmatrix} , I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} , I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} , \dotsb

I_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ \end{bmatrix} , I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} , I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} , \dotsb

逆矩陣

對於實數，我們稱 $a$ 和 $\frac{1}{a}$ 互為倒數，其中 $a \cdot \frac{1}{a} = 1$
對於矩陣，如果我們有一個矩陣 B，可以使 $AB = I$ ，其中 $I$ 為單位矩陣，那麼 B 稱為 A 的逆矩陣，記為 $A^{-1}$
從上面的定義可以發現，只有方陣才有逆矩陣

A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 \\ \end{bmatrix}

A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 \\ \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ 5 & -2 \\ \end{bmatrix}

B = \begin{bmatrix} -7 & 3 \\ 5 & -2 \\ \end{bmatrix}

經過運算，你可以發現 $AB = I$ 且 $BA = I$
事實上，若一方陣 $A$ 的逆矩陣為 $B$ ，則 $B$ 的逆矩陣也會是 $A$
$(A^{-1})^{-1} = A$

逆矩陣

一些逆矩陣的特性與存在的條件：
- 一個矩陣若有逆矩陣，則它是唯一的。
- 若 $A$ 可逆，則 $Ax = b$ 的唯一解是 $x = A^{-1}b$
  - 若有一非零向量使 $Ax = 0$ ，則 $A$ 不可逆
- 對於一個 2 x 2 的矩陣，它的逆矩陣存在條件與計算：

對於實數，如果 $a = 0$ ，那麼它沒有倒數
那矩陣呢？除了是方陣以外還有什麼限制？

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix}

如果 $ad - bc \neq 0$ ，則此逆矩陣存在

逆矩陣

對於一個對角矩陣，如果它對角線上的元素皆不為零，則它有逆矩陣。

A = \begin{bmatrix} d_1 & & \\ & \dotsb & \\ & & d_n \end{bmatrix} , d_1, d_2, \dotsb, d_n \neq 0\\，則 A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{d_1} & & \\ & \dotsb & \\ & & \frac{1}{d_n} \\ \end{bmatrix}

A = \begin{bmatrix} d_1 & & \\ & \dotsb & \\ & & d_n \end{bmatrix} , d_1, d_2, \dotsb, d_n \neq 0\\，則 A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{d_1} & & \\ & \dotsb & \\ & & \frac{1}{d_n} \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \\ \end{bmatrix}

1 . 1

向量、矩陣 Lecturer: 立葉建北電資運算思維小社課 Lesson 5

向量、矩陣

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