Esimerkki 1

Bakteerien määrä kaksinkertaistuu tunnissa. Jos bakteereita on aluksi yksi, niin kuinka paljon bakteereita on vuorokauden kuluttua?

Esimerkki 2

Kuinka kauan kestää, että bakteereita on 256? 

2^x=256
2x=2562^x=256
2^x=\color{Orange}2^8
2x=282^x=\color{Orange}2^8
x=8
x=8x=8

| | muutetaan

               kantaluku samaksi

| | yhtäsuuruus pätee, kun

eksponentit ovat samat

Vastaus: 8 h

Esimerkki 3

Kuinka kauan kestää, että bakteereita on 320? 

Vastaus: noin 8,31 h eli 8 h ja 19 min

Ratkaistaan tehtävä haarukoimalla.

Esimerkki 3

Ratkaise yhtälö 

7^x=49^3
7x=4937^x=49^3
7^x=(\color{Orange}7^2)^3
7x=(72)37^x=(\color{Orange}7^2)^3

| | muutetaan kantaluku samaksi

7^x=7^{\color{Orange}{2\cdot 3}}
7x=7237^x=7^{\color{Orange}{2\cdot 3}}

| | potenssin potenssi

7^x=7^6
7x=767^x=7^6

| | potenssit samat, kun eksponentit ja    

   kantaluvut ovat samat

x=6
x=6x=6
7^x=49^3
7x=4937^x=49^3
\color{Orange}a\color{Black}^x=\color{Green}b \color{Black}{\text{ jos ja vain jos }} x=\log_{\color{Orange}a} \color{Green}b
ax=b jos ja vain jos x=logab\color{Orange}a\color{Black}^x=\color{Green}b \color{Black}{\text{ jos ja vain jos }} x=\log_{\color{Orange}a} \color{Green}b

Logaritmin määritelmä

Esimerkki 4

\log_{\color{Orange}{10}} \color{Green}{100}
log10100\log_{\color{Orange}{10}} \color{Green}{100}
\log_{\color{Orange}{2}} \color{Green}{8}
log28\log_{\color{Orange}{2}} \color{Green}{8}
\log_{\color{Orange}{9}} \color{Green}{81}
log981\log_{\color{Orange}{9}} \color{Green}{81}
= 2, \text{ koska } \color{Orange}{10}^2=\color{Green}{100}
=2, koska 102=100 = 2, \text{ koska } \color{Orange}{10}^2=\color{Green}{100}
= 3, \text{ koska } \color{Orange}{2}^3=\color{Green}{8}
=3, koska 23=8 = 3, \text{ koska } \color{Orange}{2}^3=\color{Green}{8}
= 2, \text{ koska } \color{Orange}{9}^2=\color{Green}{81}
=2, koska 92=81= 2, \text{ koska } \color{Orange}{9}^2=\color{Green}{81}

Eksponenttiyhtälö

Yhtälö 

a^x=b
ax=ba^x=b

on eksponenttiyhtälö.

Eksponenttiyhtälö voidaan ratkaista riippuen yhtälön tyypistä joko kahdella tai yhdellä tavalla:

1. Samat kantaluvut

2. Logaritmi

3^x=9^2
3x=923^x=9^2
\color{Orange}{3}\color{White}^x=(\color{Orange}3\color{White}^2)^2
3x=(32)2\color{Orange}{3}\color{White}^x=(\color{Orange}3\color{White}^2)^2
3^x=3^4
3x=343^x=3^4
x=4
x=4x=4
\color{Orange}3\color{White}^x=10
3x=10\color{Orange}3\color{White}^x=10
||\log_\color{Orange}3
log3||\log_\color{Orange}3
x=\log_{\color{Orange}3} \color{White}10
x=log310x=\log_{\color{Orange}3} \color{White}10
\log_{\color{Orange}3} \color{Orange}3\color{White}^x=\log_{\color{Orange}3}10
log33x=log310\log_{\color{Orange}3} \color{Orange}3\color{White}^x=\log_{\color{Orange}3}10
x \approx 2,1
x2,1x \approx 2,1

GeoGebra ja CAS

\log_3 10
log310 \log_3 10

Laskettu GeoGebran laskimella

HUOM! Laskimessa merkintä "log" tarkoittaa 10-kantaista logaritmia

Potenssin logaritmikaava

x \approx 2,1
x2,1x \approx 2,1
\log a^x=x\cdot \log a
logax=xloga\log a^x=x\cdot \log a

Esimerkki 5

2^x=5
2x=52^x=5
\log 2^x=\log 5
log2x=log5\log 2^x=\log 5
x\cdot \log 2=\log 5
xlog2=log5x\cdot \log 2=\log 5
x=\dfrac{\log 5}{\log 2}
x=log5log2x=\dfrac{\log 5}{\log 2}
||\log
log||\log
||\log a^x=x\log a
logax=xloga||\log a^x=x\log a
||:\log 2
:log2||:\log 2
x\approx 2,32
x2,32x\approx 2,32

Esimerkki 6

Sijoitusrahastoon vuotuiseksi tuotoksi luvataan 2,0 %. Kuinka monta vuotta kuluu, että sijoituksen arvo kaksinkertaistuu?

100 % + 2 % = 102 % = 1,02. Sijoitus muuttuu vuodessa 1,02-kertaiseksi.

Olkoon A alkuperäinen sijoitus

Ratkaisu

1,02^x\cdot A=2A
1,02xA=2A 1,02^x\cdot A=2A
||:A
:A||:A
1,02^x=2
1,02x=2 1,02^x=2
||\log a^x=x\log a
logax=xloga||\log a^x=x\log a
||:\log 1,02
:log1,02||:\log 1,02
||\log
log||\log
\log 1,02^x=\log2
log1,02x=log2\log 1,02^x=\log2
x\cdot \log 1,02=\log2
xlog1,02=log2x\cdot \log 1,02=\log2
x=\dfrac{\log 2}{\log 1,02}
x=log2log1,02x=\dfrac{\log 2}{\log 1,02}
x\approx 35
x35x\approx 35

Vastaus: 35 vuotta

Esimerkki 7

Lääkeaineen määrä kehossa vähenee 10 % tunnissa. Kuinka kauan kestää, että lääkeainetta on kehossa jäljellä enää 1,0 %?

100 % - 10 % = 90 % = 0,90. Aineen määrä muuttuu tunnissa

0,90-kertaiseksi. Olkoon A alkuperäinen määrä.

Ratkaisu

0,90^x\cdot A=0,01\cdot A
0,90xA=0,01A 0,90^x\cdot A=0,01\cdot A
||:A
:A||:A
0,90^x=0,01
0,90x=0,010,90^x=0,01
||\log a^x=x\log a
logax=xloga||\log a^x=x\log a
||:\log 0,90
:log0,90||:\log 0,90
||\log
log||\log
\log 0,90^x=\log0,01
log0,90x=log0,01\log 0,90^x=\log0,01
x\cdot \log 0,90=\log0,01
xlog0,90=log0,01x\cdot \log 0,90=\log0,01
x=\dfrac{\log 0,01}{\log 0,90}
x=log0,01log0,90x=\dfrac{\log 0,01}{\log 0,90}
x\approx 43,71
x43,71x\approx 43,71

Vastaus: 43 tuntia ja 43 min.

MAY1: Eksponenttiyhtalö ja logaritmi

By Opetus.tv

MAY1: Eksponenttiyhtalö ja logaritmi

  • 746
Loading comments...

More from Opetus.tv