Prova orale concorso ordinario
Candidato: Milo Viviani
Classe di concorso: A026 - Matematica
Traccia
Geometria analitica nello spazio: Condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra retta e piano e loro posizione reciproca
La classe
Indirizzo: Liceo Scientifico Tradizionale
Anno: II anno II biennio (IV anno)
Rifermento normativo: Indicazioni nazionali riguardanti gli obiettivi specifici di apprendimento (DPR 89/2010)
Composizione classe: 20-25 alunni e alunne, con possibili casi di DSA discalculici (107/2010)
TIC
Geogebra: - costruzione retta e piano nello spazio
- studio delle posizioni reciproche tra retta e piano nello spazio
-Lezioni frontali
-Esercizi svolti
- Strumenti digitali
-BYOD
Metodologie
Obiettivi specifici di apprendimento
-
CONOSCENZE: piani e rette nello spazio, loro posizioni reciproche, perpendicolarità e parallelismo
-
ABILITÀ: scrivere le equazioni di un piano e una retta nello spazio, determinare le loro posizioni reciproche
- COMPETENZE: applicare gli strumenti della geometria analitica e dell'algebra lineare per studiare la disposizone di rette e piani nello spazio
Programma lezioni
Lezione 1. Richiami di geometria analitica euclidea nello spazio
Lezione 2. Richiami di algebra lineare e condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra retta e piano nello spazio
Lezione 3. Studio delle posizioni reciproche retta-piano
Lezione 4. Verifica competenze acquisite
Prerequisiti
-
Calcolo algebrico e polinomi
-
Geometria analitica nel piano
-
Geometria euclidea nel piano
-
Sistemi di equazioni lineari
- Calcolo vettoriale e matriciale
Differenziazione obiettivi di apprendimento
-
Livello alto: analizzare in dettaglio i casi degeneri delle equazioni studiate sia analaticamente che con GeoGebra
-
Livello base: assimilare e risolvere semplici esercizi inerenti al materiale presentato
- DSA discalculici: risolvere e interpretare le equazioni attraverso il solo utilizzo di GeoGebra
Lezione 1
L'equazione della retta nel piano \(Oxy\)
ax+by = c \ \ \ a,b,c\in\mathbb{R}
Formula in coordinate cartesiane
Retta passante per due punti \(P,Q\)
\frac{y-y_Q}{y_P-y_Q} = \frac{x-x_Q}{x_P-x_Q}
Formula parametrica, di parametro \(t\in\mathbb{R}\)
y = t(y_P-y_Q) + y_Q \\ x = t(x_P-x_Q) + x_Q
L'equazione della retta nello spazio \(Oxyz\)
a_1x+b_1y+c_1z = d_1\\
a_2x+b_2y+c_2z = d_2
Formula in coordinate cartesiane: intersezione di due piani
Retta passante per due punti \(P,Q\)
\frac{z-z_Q}{z_P-z_Q} =\frac{y-y_Q}{y_P-y_Q} = \frac{x-x_Q}{x_P-x_Q}
Formula parametrica, di parametro \(t\in\mathbb{R}\)
z = t(z_P-z_Q) + z_Q \ \ \ y = t(y_P-y_Q) + y_Q \\ x = t(x_P-x_Q) + x_Q
\lbrace
L'equazione della retta nello spazio \(Oxyz\)
x+y+z = 1\\
ax+by+cz = d
\lbrace
L'equazione della retta nello spazio \(Oxyz\)
P=(a,b,c) \ \ Q=(d,a,b)
L'equazione del piano nello spazio \(Oxyz\)
ax+by+cz = d \ \ \ a,b,c,d\in\mathbb{R}
Formula in coordinate cartesiane
Piano passante per tre punti \(P,Q,R\)
det\begin{bmatrix}
x-x_P & y-y_P & z-z_P \\
x_Q-x_P & y_Q-y_P & z_Q-z_P \\
x_R-x_P & y_R-y_P & z_R-z_P
\end{bmatrix}=0
Formula parametrica, di parametri \(t,s\in\mathbb{R}\)
z-z_R = t(z_P-z_Q) + s(z_P-z_R)\ \ \ y-y_R = t(y_P-y_Q) + s(y_P-y_R) \\ x-x_R = t(x_P-x_Q) + s(x_P-x_R)
L'equazione del piano nello spazio \(Oxyz\)
ax+by+cz = d \ \ \ a,b,c,d\in\mathbb{R}
L'equazione del piano nello spazio \(Oxyz\)
Piano passante per tre punti \(P,Q,R\)
Lezione 2
Rette parallele nel piano \(Oxy\)
a_1x+b_1y = c_1 \ \ \ a_2x+b_2y = c_2
sono parallele se e solo se
a_1b_2=a_2b_1
Due rette nel piano in coordinate cartesiane
det\begin{bmatrix}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{bmatrix}=0
\iff
\iff
\begin{bmatrix}
a_1\\
b_1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
a_2 \\
b_2
\end{bmatrix}
sono paralleli
Rette perpendicolari nel piano \(Oxy\)
a_1x+b_1y = c_1 \ \ \ a_2x+b_2y = c_2
sono perpendicolari se e solo se
a_1a_2+b_1b_2=0
Due rette nel piano in coordinate cartesiane
\iff
\begin{bmatrix}
a_1\\
b_1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
a_2 \\
b_2
\end{bmatrix}
sono perpendicolari
\langle\begin{bmatrix}
a_1\\
b_1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
a_2 \\
b_2
\end{bmatrix}\rangle=0
\iff
Retta parallela ad un piano nello spazio \(Oxyz\)
a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2
sono paralleli se e solo se
Una retta
det\begin{bmatrix}
a_1 & a_2 & a_3\\
b_1 & b_2 & b_3\\
c_1 & c_2 & c_3
\end{bmatrix}=0
e un piano nello spazio in coordinate cartesiane
a_3x+b_3y+c_3z=d_3
\lbrace
Retta parallela ad un piano nello spazio \(Oxyz\)
Rette perpendicolari nel piano \(Oxy\)
a_1x+b_1y = c_1 \ \ \ a_2x+b_2y = c_2
sono perpendicolari se e solo se
a_1a_2+b_1b_2=0
Due rette nel piano in coordinate cartesiane
\iff
\begin{bmatrix}
a_1\\
b_1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
a_2 \\
b_2
\end{bmatrix}
sono perpendicolari
\langle\begin{bmatrix}
a_1\\
b_1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
a_2 \\
b_2
\end{bmatrix}\rangle=0
\iff
Retta perpendicolare ad un piano nello spazio \(Oxyz\)
a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2
Una retta
e un piano nello spazio in coordinate cartesiane
a_3x+b_3y+c_3z=d_3
sono perpendicolari se e solo se
\langle\begin{bmatrix}
a_1\\
b_1 \\
c_1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
a_3 \\
b_3 \\
c_3
\end{bmatrix}\rangle=0
\langle\begin{bmatrix}
a_2\\
b_2 \\
c_2
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
a_3 \\
b_3 \\
c_3
\end{bmatrix}\rangle=0
\lbrace
Retta perpendicolare ad un piano nello spazio \(Oxyz\)
Lezione 3
Posizioni reciproche tra rette nel piano \(Oxy\)
a_1x+b_1y = c_1 \ \ \ a_2x+b_2y = c_2
Due rette nel piano in coordinate cartesiane
Parallele non coincidenti
Incidenti
Rette coincidenti
A:=\begin{bmatrix}
a_1 & b_1\\
a_2 & b_2
\end{bmatrix}
\hspace{1cm}
A|c:=\begin{bmatrix}
a_1 & b_1 & c_1\\
a_2 & b_2 & c_2
\end{bmatrix}
- \(Rk(A)<Rk(A|c)\)
-
\(Rk(A)=Rk(A|c)=2\)
- \(Rk(A)=Rk(A|c)=1\)
Posizioni reciproche tra retta e piano nello spazio \(Oxyz\)
a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2
Una retta
e un piano nello spazio in coordinate cartesiane
a_3x+b_3y+c_3z=d_3
Paralleli con la retta esterna al piano
Incidenti
Retta giace sul piano
A:=\begin{bmatrix}
a_1 & b_1 & c_1\\
a_2 & b_2 & c_2\\
a_3 & b_3 & c_3
\end{bmatrix}
\hspace{1cm}
A|d:=\begin{bmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 & d_1\\
a_2 & b_2 & c_2 & d_2\\
a_3 & b_3 & c_3 & d_3
\end{bmatrix}
- \(Rk(A)<Rk(A|d)\)
-
\(Rk(A)=Rk(A|d)=3\)
- \(Rk(A)=Rk(A|d)=2\)
\lbrace
Posizioni reciproche tra retta e piano nello spazio \(Oxyz\)
Lezione 4
- Esercizi classici di calcolo dei punti di intersezione retta-piano nello spazio
- Prova laboratoriale con GeoGebra
N.B.: per i DSA discalculici solo prova 2.
Bibliografia
Libro di testo
Matematica blu Zanichelli 2.0 - Geometria nello spazio
GeoGebra
https://wiki.geogebra.org/it
Normative
- L. 107/2015 - Buona scuola
- L. 170/2010 - DSA
- D.P.R. 89/2010 - Regolamento licei
Orale concorso ordinario scuola
By Milo Viviani
