Permutationer och kombinationer - fyra olika falltyper

  • Urval med hänsyn taget till ordning, ej upprepning (ex: hur många fyrsiffriga koder med unika siffror finns det?)
  • Urval utan hänsyn till ordning, ej upprepning (ex: hur många delmängder med tre element finns det till en mängd med fem element?)
  • Urval med hänsyn taget till ordning, upprepning tillåten (ex: hur många olika stryktipsrader finns det om det tippas 1 x eller 2 tretton gånger?)
  • Urval utan hänsyn till ordning, upprepning tillåten (ex: på hur många sätt går det att komponera en glass bestående av tre glasskulor om det finns fem smaker att välja bland, samma smak får väljas flera gånger?)

Permutationer - när ordningen är väsentlig

Typfall då upprepning inte är tillåten

På hur många sätt kan 20 elever placera sig vid 25 bänkar?

Den första eleven väljer bland 25 platser, den andra bland 24,... och den 20:e eleven väljer bland 6 platser.

Här minskar urvalet i och med användningen. Ordningens betydelse är uppenbar i exemplen.

25\cdot 24\cdot 23+\cdot...\cdot 6=\frac{25!}{(25-20)!}

På hur många sätt kan ordningsföljden på bokstäverna i ordet MATTETEST permuteras?

\frac{9!}{4!\cdot 2!}

Alla bokstäverna kan permuteras på 9! sätt. Eftersom det är 4 st. T och 2 st E spelar inte deras inbördes ordning någon roll i ordets respektive permutation.

Typfall då upprepning är tillåten

På hur många sätt kan en stryktipsrad (13 matcher med vardera 3 möjliga utfall) fyllas i?

Utfallet på respektive match är oberoende av utfallet på någon tidigare. Därför multipliceras antalet möjliga utfall per match med varandra.

Innebörden av upprepning är att inget av utfallen “tar slut” i och med användning, urvalet minskas inte. Ordningen är av betydelse därför att det är en given match i taget (av 13) som tippas.

3^{13}

Kombinationer - när ordningen inte spelar roll

Hur många pokerhänder (fem kort) består av precis två par?

Första faktorn är de sätt de båda valörerna kan väljas på bland de 13 som finns (2 - ess), andra och tredje faktorn är färgerna för första respektive andra valören (färg = hjärter, spader, ruter och klöver) och den sista faktorn är antalet sätt det sista kortet får väljas på (det går inte att välja samma valör, ty då blir det "kåk" och inte tvåpar).

{13\choose 2}\cdot{4\choose 2}\cdot{4\choose 2}\cdot{44\choose 1}

Hur många Lottorader består av precis 5 rättkryssade nummer och 2 felkryssade av 35 möjliga val?

{7\choose 5}\cdot{28\choose 2}

Lotto går ut på att tippa 7 nummer av 35 möjliga (1 - 35). Den första faktorn anger antalet sätt att tippa 5 av de 7 korrekta, den andra antalet sätt att tippa de båda felaktiga.

Typfall då upprepning inte är tillåten

Hur många utfall finns det då tre kort väljs ur en kortlek med 52 kort?

Första kortet väljs på 52 sätt, andra på 51 och tredje på 50. Antalet inbördes permutationerna är 3!. Kombinationer tar inte hänsyn till inbördes ordning, därför divideras med antalet ordningsföljder.

Ekvivalent formulering: På hur många sätt går det att välja bort 49 kort av 52? I och med att det görs ett val görs också ett bortval!

\frac{52\cdot 51\cdot 50}{3!}={52\choose 3}

Hur många Stryktipsrader består av precis 9 rättkryssade matcher (och därmed 4 felkryssade)?

{13\choose 4}\cdot 2^4

I Stryktipset tippas alla 13 matcherna. Den första faktorn anger antal sätt som de felaktiga kan tippas på. Varje felaktig match kan tippas fel på två sätt, vilket andra faktorn anger totalt antal sätt för.

Kombinationer med tillåten upprepning, förberedelse

Föremål

Med två sorters föremål, \(m\) st. av typ \(A\) och \(n\) st. av typ \(B\), på hur många sätt kan dessa placeras i en rad? Det finns \(m+n\) "platshållare" i raden. De platshållare som ska innehålla föremål av typ \(A\) kan väljas på \({m+n\choose m}\) sätt; resterande platshållare fylls med föremål av typen \(B\). Det totala antalet placeringar blir därför

Exempel på hur samtliga dessa kan läggas på rad

{m+n\choose m}={m+n\choose n}

sätt.

Kombinationer med tillåten upprepning

Säg att vi ska komponera en glasstrut med tre kulor. Det finns 5 smaker att välja på (Ananas, Blåbär, Citron, Dumle och Enbär). Givetvis kan smakerna väljas lika eller olika, t ex ABC, BCC eller DDD. Ordningen kommer inte att ha någon betydelse för de flesta, kanske för någon finsmakare som vi inte tar hänsyn till i detta exempel. Men frågan är: Hur många möjliga glasskombinationer enligt ovan finns det?

Vi skapar tre platshållare för glasskulorna, men så länge tänker vi oss att dessa hållare kan innehålla vilken smak som helst. Dessutom skapas de fem smakerna.

A

B

C

D

E

Vi skapar även en glasskopa, där som vi låter gå från A till E. Denna ska göra tre nedslag, en för varje platshållare. Om smakerna BCD väljs ser det ut som

A

B

C

D

E

Eller BBC:

A

B

C

D

E

Kombinationer med tillåten upprepning (forts.)

Oavsett så ska glasskopan flyttas 7 gånger, varav 3 gånger ska den "dyka ned" i en smak. Jämför med placeringarna på rad sedan tidigare, istället för symboler (cirkel och kvadrat) så är det pilar (höger eller nedåt) som ska placeras. Antalet sätt det kan göras på är \({7\choose 3}\), eller

A

B

C

D

E

A

B

C

D

E

{5+3-1\choose 3}
{n+k-1\choose k}

Den allmänna formeln om ett objekt kan falla ut på \(n\) sätt (t ex en glasskula kan vara en av fem smaker) och antalet objekt är \(n\) (t ex att det är tre glasskulor som ska väljas) är

Kombinationer och permutationer

By Nikodemus Karlsson

Kombinationer och permutationer

Fyra falltyper

  • 172
Loading comments...

More from Nikodemus Karlsson