Fall med luftmotstånd

En iterativ modell

yy
y
vv
v

En boll kastas rakt upp i luften. Vi vill beskriva dess hastighet och läge i höjdled som funktion av tiden, givet att det finns ett luftmotstånd.

Disclaimer: beräkningarna och parametrarnas värden på de följande slajdarna syftar inte nödvändigtvis på en verklig boll under normala omständigheter; de syftar till att demonstrera en modell för hur rörelse under inverkan av luftmotstånd i ett gravitationsfält kan hanteras.

I en förenklad modell av rörelse under inverkan av luftmotstånd gäller att luftmotståndet är proportionellt mot hastigheten och motriktad denna. Eftersom hastigheten varierar kommer även luftmotståndet att göra det.

mgmg
mg
FluftF_\text{luft}
F_\text{luft}
vv
v
mgmg
mg
FluftF_\text{luft}
F_\text{luft}
vv
v
ma=Fresma=F_\text{res}
ma=F_\text{res}
md2ydt2=−dydt  k  −mg\displaystyle m\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{-dy}{dt}\;k\;-mg
\displaystyle m\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{-dy}{dt}\;k\;-mg

Hastighet i mot-
satt riktning

Proportionalitetskonstant

yy
y

Tyngden i
negativ riktning

Det som är markerat med rött är luftmotståndets bidrag till den resulterande kraften, medan tyngden är konstant oavsett luftmotstånd.

Modell för fall med luftmotstånd

Vi utgår från Newtons andra lag.

Här gäller att

a=d2ydt2a=\frac{d^2y}{dt^2}
a=\frac{d^2y}{dt^2}
v=dydtv=\frac{dy}{dt}
v=\frac{dy}{dt}

och

md2ydt2=−dydt  k  −mg\displaystyle m\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{-dy}{dt}\;k\;-mg
\displaystyle m\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{-dy}{dt}\;k\;-mg

Hastigheten betecknas med vv:

{dydt=vdvdt=−kvm−g\left\{\begin{matrix} &\frac{dy}{dt}&=& v\\[6pt] &\frac{dv}{dt}&=&\frac{-kv}{m}-g \end{matrix} \right .
\left\{\begin{matrix} &\frac{dy}{dt}&=& v\\[6pt] &\frac{dv}{dt}&=&\frac{-kv}{m}-g \end{matrix} \right .
{ΔyΔt≈vΔvΔt≈−kvm−g\left\{\begin{matrix} &\frac{\Delta y}{\Delta t}&\approx& v\\[6pt] &\frac{\Delta v}{\Delta t}&\approx&\frac{-kv}{m}-g \end{matrix} \right .
\left\{\begin{matrix} &\frac{\Delta y}{\Delta t}&\approx& v\\[6pt] &\frac{\Delta v}{\Delta t}&\approx&\frac{-kv}{m}-g \end{matrix} \right .
⇒\Rightarrow
\Rightarrow
⇒\Rightarrow
\Rightarrow
{Δy≈vΔtΔv≈(−kvm−g)Δt\left\{\begin{matrix} &\Delta y&\approx& v \Delta t\\[6pt] &\Delta v&\approx&\left(\frac{-kv}{m}-g\right)\Delta t \end{matrix} \right .
\left\{\begin{matrix} &\Delta y&\approx& v \Delta t\\[6pt] &\Delta v&\approx&\left(\frac{-kv}{m}-g\right)\Delta t \end{matrix} \right .
⇒\Rightarrow
\Rightarrow
{y1≈y0+v1Δtv1≈v0+(−kv0m−g)Δt\left\{\begin{matrix} &y_1&\approx& y_0 + v_1 \Delta t\\[6pt] &v_1&\approx& v_0 + \left(\frac{-kv_0}{m}-g\right)\Delta t \end{matrix} \right .
\left\{\begin{matrix} &y_1&\approx& y_0 + v_1 \Delta t\\[6pt] &v_1&\approx& v_0 + \left(\frac{-kv_0}{m}-g\right)\Delta t \end{matrix} \right .

Här gäller att Δy=y1−y0\Delta y = y_1-y_0 och Δv=v1−v0\Delta v = v_1-v_0

Förutsatt att vi känner till värdet på y0y_0 och v0v_0 vid en given tidpunkt t0t_0, kan ett nytt värde bestämmas som gäller vid tidpunkten t1t_1.

Ju mindre Δt\Delta t, desto närmare likhet.

Forts. modell för fall med luftmotstånd

⇔d2ydt2=−kmdydt−g\displaystyle\Leftrightarrow \frac{d^2y}{dt^2}=\frac{-k}{m}\frac{dy}{dt}-g
\displaystyle\Leftrightarrow \frac{d^2y}{dt^2}=\frac{-k}{m}\frac{dy}{dt}-g
{yn+1≈yn+vnΔtvn+1≈vn+(−kvnm−g)Δt\left\{\begin{matrix} &y_{n+1}&\approx& y_n + v_n \Delta t\\[6pt] &v_{n+1}&\approx& v_n + \left(\frac{-kv_n}{m}-g\right)\Delta t \end{matrix} \right .
\left\{\begin{matrix} &y_{n+1}&\approx& y_n + v_n \Delta t\\[6pt] &v_{n+1}&\approx& v_n + \left(\frac{-kv_n}{m}-g\right)\Delta t \end{matrix} \right .

Begynnelsevillkor:

v0=10 m/sv_0=10\text{ m/s}

y0=0 my_0=0\text{ m}

Parametervärden:

k=10 Ns/mk=10\text{ Ns/m}

m=10 kgm=10\text{ kg}

g=10 m/s2g=10\text{ m/s}^2

Tidsintervall Δt=0.1 s\Delta t=0.1\text{ s}

v1≈v0+(−kv0m−g)Δt=10+(−1⋅10−10)⋅0.1=10−2=8 m/sv_1\approx v_0 + \left(\frac{-kv_0}{m}-g\right)\Delta t = 10 + (-1\cdot 10 - 10)\cdot 0.1 = 10 - 2 = 8 \text{ m/s}
v_1\approx v_0 + \left(\frac{-kv_0}{m}-g\right)\Delta t = 10 + (-1\cdot 10 - 10)\cdot 0.1 = 10 - 2 = 8 \text{ m/s}
y1≈y0+v1Δt=0+8⋅0.1=0.8 my_1\approx y_0 + v_1 \Delta t = 0 + 8\cdot 0.1 = 0.8\text{ m}
y_1\approx y_0 + v_1 \Delta t = 0 + 8\cdot 0.1 = 0.8\text{ m}

Eftersom yy är kopplad till vv börjar vi med att beräkna nästföljande vv, och använder sedan detta för att beräkna nästa värde på yy.

Vi itererar en gång till:

v2≈v1+(−kv1m−g)Δt=8+(−1⋅8−10)⋅0.1=8−1.8=6.2 m/sv_2\approx v_1 + \left(\frac{-kv_1}{m}-g\right)\Delta t = 8 + (-1\cdot 8 - 10)\cdot 0.1 = 8 - 1.8 = 6.2 \text{ m/s}
v_2\approx v_1 + \left(\frac{-kv_1}{m}-g\right)\Delta t = 8 + (-1\cdot 8 - 10)\cdot 0.1 = 8 - 1.8 = 6.2 \text{ m/s}
y2≈y1+v2Δt=0.8+6.2⋅0.1=1.42 my_2\approx y_1 + v_2 \Delta t = 0.8 + 6.2\cdot 0.1 = 1.42\text{ m}
y_2\approx y_1 + v_2 \Delta t = 0.8 + 6.2\cdot 0.1 = 1.42\text{ m}

Genom att lägga in reglerna i ett kalkylark går det enkelt att göra många iterationer och att rita grafer.

Forts. modell för fall med luftmotstånd

Exempel

=A8+$D$4
=B8+C9*$D$4
=C8+($B$4/$C$4*(C8)*(-1)-$A$4)*$D$4

Cellerna med formlerna kopieras nedåt så många steg som iterationen ska fortsätta, därefter kan diagrammen ritas.

Här har 23 iterationer gjorts, det går att göra hundratals.

Google kalkylark

Formel för cell A9\texttt{A9}

Formel för cell B9\texttt{B9}

Formel för cell C9\texttt{C9}

Fall med luftmotstånd

By Nikodemus Karlsson

Made with Slides.com

Fall med luftmotstånd

  • 136

More from Nikodemus Karlsson