Fall med luftmotstånd
En iterativ modell




En boll kastas rakt upp i luften. Vi vill beskriva dess hastighet och läge i höjdled som funktion av tiden, givet att det finns ett luftmotstånd.
Disclaimer: beräkningarna och parametrarnas värden på de följande slajdarna syftar inte nödvändigtvis på en verklig boll under normala omständigheter; de syftar till att demonstrera en modell för hur rörelse under inverkan av luftmotstånd i ett gravitationsfält kan hanteras.
I en förenklad modell av rörelse under inverkan av luftmotstånd gäller att luftmotståndet är proportionellt mot hastigheten och motriktad denna. Eftersom hastigheten varierar kommer även luftmotståndet att göra det.
Hastighet i mot-
satt riktning
Proportionalitetskonstant
Tyngden i
negativ riktning
Det som är markerat med rött är luftmotståndets bidrag till den resulterande kraften, medan tyngden är konstant oavsett luftmotstånd.
Modell för fall med luftmotstånd
Vi utgår från Newtons andra lag.
Här gäller att
och
Hastigheten betecknas med v:
Här gäller att Δy=y1−y0 och Δv=v1−v0
Förutsatt att vi känner till värdet på y0 och v0 vid en given tidpunkt t0, kan ett nytt värde bestämmas som gäller vid tidpunkten t1.
Ju mindre Δt, desto närmare likhet.
Forts. modell för fall med luftmotstånd
Begynnelsevillkor:
v0=10 m/s
y0=0 m
Parametervärden:
k=10 Ns/m
m=10 kg
g=10 m/s2
Tidsintervall Δt=0.1 s
Eftersom y är kopplad till v börjar vi med att beräkna nästföljande v, och använder sedan detta för att beräkna nästa värde på y.
Vi itererar en gång till:
Genom att lägga in reglerna i ett kalkylark går det enkelt att göra många iterationer och att rita grafer.
Forts. modell för fall med luftmotstånd
Exempel


=A8+$D$4
=B8+C9*$D$4
=C8+($B$4/$C$4*(C8)*(-1)-$A$4)*$D$4
Cellerna med formlerna kopieras nedåt så många steg som iterationen ska fortsätta, därefter kan diagrammen ritas.
Här har 23 iterationer gjorts, det går att göra hundratals.

Google kalkylark
Formel för cell A9
Formel för cell B9
Formel för cell C9
Fall med luftmotstånd
By Nikodemus Karlsson
Fall med luftmotstånd
- 136