Kongruens och modulo-räkning
Det är resten som räknas
Idag är det torsdag. Vilken veckodag är det om
a) 9 dagar? b) 72 dagar? c) \(3^{40}\) dagar?
a) \(9=1\cdot 7 + 2\Leftrightarrow\frac{9}{7}=1+\frac{2}{7}\)
b) \(72=10\cdot 7 + 2\Leftrightarrow \frac{72}{7}=10+\frac{2}{7}\)
Rest
\(72\equiv 9\,(\mathrm{mod}\; 7)\) innebär att
- 72 och 9 ger samma rest vid division med 7
- \(7|(72-9)\Leftrightarrow (72-9)=k\cdot 7,k\in\mathbb{Z}\)
Motsvarande gäller för alla tal \(a\) och \(b\) kongruenta med varandra \((\mathrm{mod}\, n)\)
Veckans dagar
c) Om en liten stund...
\(a\equiv b\,(\mathrm{mod}\; n) \Leftrightarrow \)
Definition
Detta medför att differensen av \(a\) och \(b\) är jämnt delbar med \(n\). Varför?
\frac{a}{n}=k_1+\frac{r}{n}
och
\frac{b}{n}=k_2+\frac{r}{n}
\(a-b=k_1n+r-(k_2n+r)=k_1n-k_2n=n(k_1-k_2)\Leftrightarrow n|(a-b)\), vilket innebär att \(a-b\) är jämnt delbar med \(n\).
Antag att \(a,b, k_1, k_2\;\mathrm{och}\;r\geq 0\) och \(n>0\), alla heltal.
Att \(a\equiv b\,(\mathrm{mod}\;n)\) innebär per definition att
Subtrahera nu \(a\) och \(b\) med varandra:
Alltså: \(a\) och \(b\) ger samma rest vid division med \(n\).
\frac{a}{n}=k_1+\frac{r}{n}\Leftrightarrow a=k_1n+r
\frac{b}{n}=k_2+\frac{r}{n}\Leftrightarrow b=k_2n+r
Vid division av ett heltal \(a\) med heltalet \(n\) finns \(n\) möjliga rester: \(0, 1, 2, ..., n-1\)
Exempel division med \(4\):
\(\frac{16}{4}=4+\frac{0}{4}\)
\(\frac{17}{4}=4+\frac{1}{4}\)
\(\frac{18}{4}=4+\frac{2}{4}\)
\(\frac{19}{4}=4+\frac{3}{4}\)
\(\frac{20}{4}=4+\frac{4}{4}=5+\frac{0}{4}\)
Och resten då?
osv
Summan av resterna
Ex: Vi räknar \((\mathrm{mod}\;5)\) och låter \(a=10\) och \(b=11\)
\(a+b\,(\mathrm{mod}\; n)\equiv a\,(\mathrm{mod}\; n)+b\,(\mathrm{mod}\;n)\)
\(10+11\,(\mathrm{mod}\; 5)\equiv 10\,(\mathrm{mod}\; 5)+11\,(\mathrm{mod}\;5)\)
\(10+11=21\equiv 1\,(\mathrm{mod}\; 5)\)
\(10\equiv 0\,(\mathrm{mod}\; 5)\)
\(11\equiv 1\,(\mathrm{mod}\; 5)\)
\(0+1=1\)
V.L
H.L
alternativt \(203+199+45\equiv 3-1+0=2\,(\mathrm{mod}\;5)\)
eftersom \(199=40\cdot 5+(-1)=39\cdot 5 + 4\)
Även negativa rester tillåtna under beräkning!
Vi räknar: \(203+199+45\equiv 3+4+0=7\equiv 2\,(\mathrm{mod}\;5)\)
Ex:
Resternas produkt
Ex: Vi räknar \((\mathrm{mod}\;5)\) och låter \(a=12\) och \(b=13\)
\(a\cdot b\,(\mathrm{mod}\; n)\equiv a\,(\mathrm{mod}\; n)\cdot b\,(\mathrm{mod}\;n)\)
\(12\cdot 13\,(\mathrm{mod}\; 5)\equiv 12\,(\mathrm{mod}\; 5)\cdot 13\,(\mathrm{mod}\;5)\)
\(12\cdot 13=156\equiv 1\,(\mathrm{mod}\; 5)\)
\(12\equiv 2\,(\mathrm{mod}\; 5)\)
\(13\equiv 3\,(\mathrm{mod}\; 5)\)
\(2\cdot 3=6\equiv 1\;(\mathrm{mod}\; 5)\)
V.L
H.L
Basen och exponenten
Ex: Vi räknar \((\mathrm{mod}\;7)\) och låter \(a=3\) och \(b=40\)
\(a^ b\,(\mathrm{mod}\; n)\equiv \left(a\,(\mathrm{mod}\;n)\right)^b\)
\(3^{40}=\left(3^2\right)^{20}=9^{20}\equiv 2^{20}=\left(2^5\right)^4=32^4\equiv 4^4=\left(4^2\right)^2==16^2\equiv 2^2=4\,(\mathrm{mod}\; 7)\)
vilket innebär, relaterat till det inledande exemplet, att det är måndag om \(3^{40}\) dagar givet att det är torsdag idag.
Den trevliga trean
Betrakta talet \(3\,282\). Det skrivs om enligt
\(3\,282=3\cdot 1\,000 + 2\cdot 100 + 8\cdot 10 + 2\cdot 1\).
Räkna nu kongruens modulo 3:
\(3\cdot 1\,000 + 2\cdot 100 + 8\cdot 10 + 2\cdot 1\equiv 3\cdot 1+2\cdot 1+8\cdot 1+2\cdot 1=15\equiv 0\,(\mathrm{mod}\; 3)\).
Eftersom alla multipler av 10 ger resten 1 vid division med 3 så kommer alla tal (i basen tio) att vara kongruenta med sin siffersumma (mod 3). Om den i sin tur är kongruent med 0 (mod 3) så är talet jämnt delbart med 3.
Motsvarande gäller även (mod 9).
Att tänka negativt kan vara positivt
Bestäm resten då \(68^{45}\) divideras med \(23\).
\(68\equiv 22\,(\mathrm{mod}\; 23)\), ty \(68=2\cdot23+22\) (hmm, stora tal...)
\(68\equiv -1\,(\mathrm{mod}\; 23)\), ty \(68=3\cdot 23+(-1)\)
\(68^{45}\equiv (-1)^{45}=-1\equiv 22\,(\mathrm{mod}\;23)\)
Alltså: \(\frac{68^{45}}{23}=k +\frac{22}{23}, k\in \mathbb{Z}\)
Ett antal skift
På en arbetsplats är det skiftarbete dygnet runt i pass om fem timmar. Ett skift startar kl. 00.00 natten till måndag. När infaller det första skift som startar kl. 07.00?
\(5x\equiv 7\,(\mathrm{mod}\;24)\), där \(x\) är antalet skift som gör att kongruensen uppfylls.
\(5x\equiv 7\,(\mathrm{mod}\;24)\Leftrightarrow 5x-7=24n, n \in\mathbb Z\).
\(n=\frac{5x-7}{24}\), sök heltalslösningar genom prövning!
\(x=11\), dvs efter 11 skift (\(11\cdot 5=55\) timmar, kl. 07.00 på onsdag morgon).
(Prövningsstrategi: \(5x-7=24\, , 5x-7=2\cdot 24\, , 5x-7=3\cdot 24,...\))
Kongruens och moduloräkning
By Nikodemus Karlsson
Kongruens och moduloräkning
Det är resten som räknas
