Kongruens och modulo-räkning

Det är resten som räknas

Idag är det måndag. Vilken veckodag är det om

  a) 9 dagar?  b) 72 dagar?  c) \(3^{40}\) dagar?

a) \(9=1\cdot 7 + 2\Leftrightarrow\frac{9}{7}=1+\frac{2}{7}\)

b) \(72=10\cdot 7 + 2\Leftrightarrow \frac{72}{7}=10+\frac{2}{7}\)

Rest

\(72\equiv 9\,(\mathrm{mod}\; 7)\) innebär att

  • 72 och 9 ger samma rest vid division med 7
  • \(7|(72-9)\Leftrightarrow (72-9)=k\cdot 7,k\in\mathbb{Z}\)

Motsvarande gäller för alla tal \(a\) och \(b\) kongruenta med varandra \((\mathrm{mod}\, n)\)

Veckans dagar

c) Om en liten stund...

\(a\equiv b\,(\mathrm{mod}\; n) \Leftrightarrow \)

\(\frac{a}{n}=k_1+\frac{r}{n}\) och

\(\frac{b}{n}=k_2+\frac{r}{n}\).

Definition

Detta medför att differensen av \(a\) och \(b\) är jämnt delbar med \(n\). Varför?

\(\frac{a}{n}=k_1+\frac{r}{n}\Leftrightarrow a=k_1n+r\)

\(\frac{b}{n}=k_2+\frac{r}{n}\Leftrightarrow b=k_2n+r\)

\(a-b=k_1n+r-(k_2n+r)=k_1n-k_2n=n(k_1-k_2)\Leftrightarrow n|(a-b)\), vilket innebär att \(a-b\) är jämnt delbar med \(n\).

Antag att \(a,b, k_1, k_2\;\mathrm{och}\;r\geq 0\) och \(n>0\), alla heltal.

Att \(a\equiv b\,(\mathrm{mod}\;n)\) innebär per definition att

Subtrahera nu \(a\) och \(b\) med varandra:

Alltså: \(a\) och \(b\) ger samma rest vid division med \(n\).

Vid division av ett heltal \(a\) med heltalet \(n\) finns \(n\) möjliga rester: \(0, 1, 2, ..., n-1\)

Exempel division med \(4\):

\(\frac{16}{4}=4+\frac{0}{4}\)

\(\frac{17}{4}=4+\frac{1}{4}\)

\(\frac{18}{4}=4+\frac{2}{4}\)

\(\frac{19}{4}=4+\frac{3}{4}\)

\(\frac{20}{4}=4+\frac{4}{4}=5+\frac{0}{4}\)

Och resten då?

osv

Summan av resterna

Ex: Vi räknar \((\mathrm{mod}\;5)\) och låter \(a=10\) och \(b=11\)

\(a+b\,(\mathrm{mod}\; n)\equiv a\,(\mathrm{mod}\; n)+b\,(\mathrm{mod}\;n)\)

\(10+11\,(\mathrm{mod}\; 5)\equiv 10\,(\mathrm{mod}\; 5)+11\,(\mathrm{mod}\;5)\)

\(10+11=21\equiv 1\,(\mathrm{mod}\; 5)\)

\(10\equiv 0\,(\mathrm{mod}\; 5)\)

\(11\equiv 1\,(\mathrm{mod}\; 5)\)

\(0+1=1\)

V.L

H.L

alternativt \(203+199+45\equiv 3-1+0=2\,(\mathrm{mod}\;5)\)

eftersom \(199=40\cdot 5+(-1)=39\cdot 5 + 4\)

Även negativa rester tillåtna under beräkning!

Vi räknar: \(203+199+45\equiv 3+4+0=7\equiv 2\,(\mathrm{mod}\;5)\)

Ex:

Resternas produkt

Ex: Vi räknar \((\mathrm{mod}\;5)\) och låter \(a=12\) och \(b=13\)

\(a\cdot b\,(\mathrm{mod}\; n)\equiv a\,(\mathrm{mod}\; n)\cdot b\,(\mathrm{mod}\;n)\)

\(12\cdot 13\,(\mathrm{mod}\; 5)\equiv 12\,(\mathrm{mod}\; 5)\cdot 13\,(\mathrm{mod}\;5)\)

\(12\cdot 13=156\equiv 1\,(\mathrm{mod}\; 5)\)

\(12\equiv 2\,(\mathrm{mod}\; 5)\)

\(13\equiv 3\,(\mathrm{mod}\; 5)\)

\(2\cdot 3=6\equiv 1\;(\mathrm{mod}\; 5)\)

V.L

H.L

Basen och exponenten

Ex: Vi räknar \((\mathrm{mod}\;7)\) och låter \(a=3\) och \(b=40\)

\(a^ b\,(\mathrm{mod}\; n)\equiv \left(a\,(\mathrm{mod}\;n)\right)^b\)

\(3^{40}=\left(3^2\right)^{20}=9^{20}\equiv 2^{20}=\left(2^5\right)^4=32^4\equiv 4^4=\left(4^2\right)^2==16^2\equiv 2^2=4\,(\mathrm{mod}\; 7)\)

vilket innebär, relaterat till det inledande exemplet, att det är fredag om \(3^{40}\) dagar givet att det är måndag idag.

Den trevliga trean

Betrakta talet \(3\,282\). Det skrivs om enligt

\(3\,282=3\cdot 1\,000 + 2\cdot 100 + 8\cdot 10 + 2\cdot 1\).

Räkna nu kongruens modulo 3:

\(3\cdot 1\,000 + 2\cdot 100 + 8\cdot 10 + 2\cdot 1\equiv 3\cdot 1+2\cdot 1+8\cdot 1+2\cdot 1=15\equiv 0\,(\mathrm{mod}\; 3)\).

Eftersom alla multipler av 10 ger resten 1 vid division med 3 så kommer alla tal (i basen tio) att vara kongruenta med sin siffersumma (mod 3). Om den i sin tur är kongruent med 0 (mod 3) så är talet jämnt delbart med 3.

Motsvarande gäller även (mod 9).

Att tänka negativt kan vara positivt

Bestäm resten då \(68^{45}\) divideras med \(23\).

\(68\equiv 22\,(\mathrm{mod}\; 23)\), ty \(68=2\cdot23+22\) (hmm, stora tal...)

\(68\equiv -1\,(\mathrm{mod}\; 23)\), ty \(68=3\cdot 23+(-1)\)

\(68^{45}\equiv (-1)^{45}=-1\equiv 22\,(\mathrm{mod}\;23)\)

Alltså: \(\frac{68^{45}}{23}=k +\frac{22}{23}, k\in \mathbb{Z}\)

Ett antal skift

På en arbetsplats är det skiftarbete dygnet runt i pass om fem timmar. Ett skift startar kl. 00.00 natten till måndag. När infaller det första skift som startar kl. 07.00?

\(5x\equiv 7\,(\mathrm{mod}\;24)\), där \(x\) är antalet skift som gör att kongruensen uppfylls.

\(5x\equiv 7\,(\mathrm{mod}\;24)\Leftrightarrow 5x-7=24n, n \in\mathbb Z\).

\(n=\frac{5x-7}{24}\), sök heltalslösningar genom prövning!

\(x=11\), dvs efter 11 skift (\(11\cdot 5=55\) timmar, kl. 07.00 på onsdag morgon).

(Prövningsstrategi: \(5x-7=24\, , 5x-7=2\cdot 24\, , 5x-7=3\cdot 24,...\))

Kongruens och moduloräkning

By Nikodemus Karlsson

Kongruens och moduloräkning

Det är resten som räknas

  • 251
Loading comments...

More from Nikodemus Karlsson