Exempel division med $4$:

$\frac{16}{4}=4+\frac{0}{4}$

$\frac{17}{4}=4+\frac{1}{4}$

$\frac{18}{4}=4+\frac{2}{4}$

$\frac{19}{4}=4+\frac{3}{4}$

$\frac{20}{4}=4+\frac{4}{4}=5+\frac{0}{4}$

osv

$10+11=21\equiv 1\,(\mathrm{mod}\; 5)$

$10\equiv 0\,(\mathrm{mod}\; 5)$

$11\equiv 1\,(\mathrm{mod}\; 5)$

$0+1=1$

V.L

H.L

alternativt $203+199+45\equiv 3-1+0=2\,(\mathrm{mod}\;5)$

eftersom $199=40\cdot 5+(-1)=39\cdot 5 + 4$

Även negativa rester tillåtna under beräkning!

$12\cdot 13=156\equiv 1\,(\mathrm{mod}\; 5)$

$12\equiv 2\,(\mathrm{mod}\; 5)$

$13\equiv 3\,(\mathrm{mod}\; 5)$

$2\cdot 3=6\equiv 1\;(\mathrm{mod}\; 5)$

V.L

H.L

$3^{40}=\left(3^2\right)^{20}=9^{20}\equiv 2^{20}=\left(2^5\right)^4=32^4\equiv 4^4=\left(4^2\right)^2==16^2\equiv 2^2=4\,(\mathrm{mod}\; 7)$

vilket innebär, relaterat till det inledande exemplet, att det är måndag om $3^{40}$ dagar givet att det är torsdag idag.

Eftersom alla multipler av 10 ger resten 1 vid division med 3 så kommer alla tal (i basen tio) att vara kongruenta med sin siffersumma (mod 3). Om den i sin tur är kongruent med 0 (mod 3) så är talet jämnt delbart med 3.

Motsvarande gäller även (mod 9).

$68\equiv 22\,(\mathrm{mod}\; 23)$, ty $68=2\cdot23+22$ (hmm, stora tal...)

$68\equiv -1\,(\mathrm{mod}\; 23)$, ty $68=3\cdot 23+(-1)$

$68^{45}\equiv (-1)^{45}=-1\equiv 22\,(\mathrm{mod}\;23)$

Alltså: $\frac{68^{45}}{23}=k +\frac{22}{23}, k\in \mathbb{Z}$

$5x\equiv 7\,(\mathrm{mod}\;24)$, där $x$ är antalet skift som gör att kongruensen uppfylls.

$5x\equiv 7\,(\mathrm{mod}\;24)\Leftrightarrow 5x-7=24n, n \in\mathbb Z$.

$n=\frac{5x-7}{24}$, sök heltalslösningar genom prövning!

$x=11$, dvs efter 11 skift ($11\cdot 5=55$ timmar, kl. 07.00 på onsdag morgon).

(Prövningsstrategi: $5x-7=24\, , 5x-7=2\cdot 24\, , 5x-7=3\cdot 24,...$)