海之音
INFOR 36th 學術長 @小海_夢想特急_夢城前
圖論[0]
Graph Theory[0]
INFOR 36th. @小海_夢想特急_夢城前
Index
講師
- 225 賴柏宇
- 海之音、小海或其他類似的
- 美術能力見底
- 表達能力差，不懂要問
- INFOR 36th 學術長
這頁是偷來的- 不會圖論所以來當圖論講師
Reference
- 本次的講師很弱
- 本次提供的範例 Code 可能有誤，請見諒
- 為了提高可讀性，拆成很多函式以及回傳值處理，有時會導致常數較大，請自行修改
- 表達能力很差，所以聽不懂 一定 一定 要問
- 講師永遠不會放棄你
啊對 保有最終解釋權 人很ㄐㄅ不在此範圍 - 簡報或我的觀念可能有誤，歡迎隨時糾正
- 有些奇怪的連結是我推薦的歌.jpg (不是 Rickroll...)
聲明
定義/名詞
Glossary.
- 名詞解釋：
- 由各種線條、形狀、色彩等描繪成的形象或畫面。
- 疆域。
- 欲念。
- 動詞解釋：
- 繪畫、描繪。
- 策劃、考慮。
- 謀取、謀求。
何謂「圖」
- 名詞解釋：
- 由各種線條、形狀、色彩等描繪成的形象或畫面。
- 疆域。
- 欲念。
- 動詞解釋：
- 繪畫、描繪。
- 策劃、考慮。
- 謀取、謀求。
何謂「圖」
如果你不知道這是啥，這是教育部的解釋
A graph is a structure amounting to a set of objects in which some pairs of the objects are in some sense "related".
Wikipedia
「一張圖是一種結構，描述了一個集合中成對物件之間的關聯性。」
Definition
「一張圖是一種結構，描述了一個集合中成對物件之間的關聯性。」
結構兩字可以理解成資料結構，雖然它的本意更接近程式中的 object
- 集合：一堆物件
- 成對物件：兩個兩個一組的物件
- 關聯性：兩個物件之間的關係
Definition
「一張圖是一種結構，描述了一個集合中成對物件之間的關聯性。」
結構兩字可以理解成資料結構，雖然它的本意更接近程式中的 object
- 集合：一堆物件
- 成對物件：兩個兩個一組的物件
- 關聯性：兩個物件之間的關係
Definition
「一張圖是一種結構，描述了一個集合中成對物件之間的關聯性。」
結構兩字可以理解成資料結構，雖然它的本意更接近程式中的 object
- 集合：一堆物件
- 成對物件：兩個兩個一組的物件
- 關聯性：兩個物件之間的關係
Definition
「一張圖是一種結構，描述了一個集合中成對物件之間的關聯性。」
結構兩字可以理解成資料結構，雖然它的本意更接近程式中的 object
- 集合：一堆物件
- 成對物件：兩個兩個一組的物件
- 關聯性：兩個物件之間的關係
Definition
：點
：邊
Definition
點集：點構成的集合，以 表示
V
Definition
邊集：邊構成的集合，以 表示
E
Definition
圖：點和邊構成的集合，以 表示
G(V,E)
Edge (邊)
- 可以用兩點 表示
- 方向性 (direction)
- 若為有向，以箭頭表示
- 邊權 (weight)
- 自環 (loop)
- 自己指到自己
- 重邊 (parallel edges)
- 起終點相同的邊
Vertex (點)
- 點權 (weight)
- 度 (degree)
- 無向圖：一個點接多少邊
- 入度：指到自己邊的數量
- 出度：指到它點邊的數量
- 入度 & 出度為有向圖專屬
(u, v)
- 點、邊交錯構成的集合，其中邊要連到左右點
-
行跡 (trace)
- 經過的邊不重複
-
簡單路徑 (track)
- 經過的點不重複 (可以保證不經過重複邊)
-
迴路 (circuit)
- 起終點相同的路徑
- 環 (cycle) : 只有起終點相同的路徑
Path (路徑)
P(v_0, e_1, v_1, e_2, v_2 ...)
Path
- 點、邊交錯構成的集合，其中邊要連到左右點
-
行跡 (trace)
- 經過的邊不重複
-
簡單路徑 (track)
- 經過的點不重複 (可以保證不經過重複邊)
-
迴路 (circuit)
- 起終點相同的路徑
- 環 (cycle) : 只有起終點相同的路徑
Path (路徑)
P(v_0, e_1, v_1, e_2, v_2 ...)
Trace
- 點、邊交錯構成的集合，其中邊要連到左右點
-
行跡 (trace)
- 經過的邊不重複
-
簡單路徑 (track)
- 經過的點不重複 (可以保證不經過重複邊)
-
迴路 (circuit)
- 起終點相同的路徑
- 環 (cycle) : 只有起終點相同的路徑
Path (路徑)
P(v_0, e_1, v_1, e_2, v_2 ...)
Track
- 點、邊交錯構成的集合，其中邊要連到左右點
-
行跡 (trace)
- 經過的邊不重複
-
簡單路徑 (track)
- 經過的點不重複 (可以保證不經過重複邊)
-
迴路 (circuit)
- 起終點相同的路徑
- 環 (cycle) : 只有起終點相同的路徑
Path (路徑)
P(v_0, e_1, v_1, e_2, v_2 ...)
Circuit
- 點、邊交錯構成的集合，其中邊要連到左右點
-
行跡 (trace)
- 經過的邊不重複
-
簡單路徑 (track)
- 經過的點不重複 (可以保證不經過重複邊)
-
迴路 (circuit)
- 起終點相同的路徑
- 環 (cycle) : 只有起終點相同的路徑
Path (路徑)
P(v_0, e_1, v_1, e_2, v_2 ...)
Cycle
- 簡單圖 (Simple Graph)：不存在重邊自環
- 有向圖 (Directed Graph)：邊是有向的
- 強連通 (SC)：所有點對都存在一條路徑
- 弱連通 (WC)：要變成無向圖才全部連通
- 有向無環圖(DAG)
- 無向圖：邊是無向的
- 連通圖：所有點對都存在一條路徑
一些分類
- 完全圖：所有點對都有一條邊連著
一些分類
|E| = \frac {|V|(|V|-1)} {2}
- 子圖：每條邊、每個點都存在於原圖中的圖
一些分類
for\ G'(V', E'):\ V'\subseteq V,\ E'\subseteq E
- 補圖：點集相同，邊集是補集 (以完全圖的邊集為宇集)
一些分類
for\ G'(V', E'):\ V'= V,\ E' = E^c
- 樹：不存在環的無向連通圖
一些分類
|E| = |V| - 1
- 稀疏圖 ，例如樹
- 稠密圖 ，例如完全圖
一些分類
|E| \leq |V| log |V|
|E| \geq |V| log |V|
一般做法 或 ，但可以
O(n\ log\ n)
O(n^2log\ n)
O(n^2)
怪題思考題
儲存
Storage.
在開始前，先了解一下我的習慣...
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n; // |V|
int m; // |E|
int u, v, vertex; // 某個點
int e, edge; // 某個邊
int w, weight; // 某個權重
int cur; // 通常是遞迴時現在在哪個點
int pre, prev; // 上一個點
int next, nxt; // 下一個點
vector<vector<type>> graph; // 圖
vector<int> neighbor; // 一個點附近的點
const int INF = 1e9 + 7;- 鄰接矩陣
- 開一個 的表記錄邊
- 如果帶權就記錄權重
- 有向邊？
Adjacency Matrix
|V|\times |V|
(u, v)
0
1
2
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
- 鄰接矩陣
- 開一個 的表記錄邊
- 如果帶權就記錄權重
- 有向邊？
Adjacency Matrix
|V|\times |V|
(u, v)
0
1
2
\begin{bmatrix}
0 & 5 & 3 \\
5 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 0
\end{bmatrix}
5
3
- 鄰接矩陣
- 開一個 的表記錄邊
- 如果帶權就記錄權重
- 有向邊？令 記錄的是從 指向 就好啦
Adjacency Matrix
|V|\times |V|
(u, v)
0
1
2
\begin{bmatrix}
0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 0
\end{bmatrix}
5
3
(u, v)
u
v
int n, m;
cin >> n >> m;
vector<vector<bool>> graph(n, vector<bool>(n, 0));
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
graph[u][v] = 1;
graph[v][u] = 1;
}- 鄰接串列 但它和 linked list 是不同東西
- 把所有 連到的點 存在一個 list 裡面
- 帶權？有向？
Adjacency List
u
v
0
1
2
0: \{1, 2\}
1: \{0\}
2: \{0\}
- 鄰接串列 但它和 linked list 是不同東西
- 把所有 連到的點 存在一個 list 裡面
- 帶權？用 pair 把權重包在邊裡
Adjacency List
u
v
0
1
2
0: \{(1, 5), (2, 3)\}
1: \{(0, 5)\}
2: \{(0, 3)\}
5
3
- 鄰接串列 但它和 linked list 是不同東西
- 把所有 連到的點 存在一個 list 裡面
- 有向應該不需要我解釋吧
Adjacency List
u
v
0
1
2
0: \{\}
1: \{(0, 5)\}
2: \{(0, 3)\}
5
3
- 鄰接串列 但它和 linked list 是不同東西
- 把所有 連到的點 存在一個 list 裡面
- 有向應該不需要我解釋吧
Adjacency List
u
v
0
1
2
0: \{\}
1: \{(0, 5)\}
2: \{(0, 3)\}
5
3
空間複雜度？
int n, m;
cin >> n >> m;
vector<vector<int>> graph(n);
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
graph[u].push_back(v);
graph[v].push_back(u);
}因為這東西比較常用，所以如果後面有 graph 應該都是指鄰接串列的存法
鄰接矩陣
- 快速查看 u, v 間的邊
- 浪費空間
- 不好處理重邊
- 處理稠密圖較有效率
鄰接串列
- 不能直接查看 u, v 間的邊
- 對於相鄰點的操作方便
- 比較不浪費空間
- 處理稀疏圖、稠密圖都很好
比較
| 方式 | 鄰接矩陣 | 鄰接串列 |
|---|---|---|
| 空間複雜度 | ||
| 存取特定邊 | ||
| 枚舉邊 |
O(|V|^2)
O(|V|+|E|)
O(1)
O(|E|)
O(|V|^2)
O(|V|+|E|)
struct Node {
int weight; // 點的資訊
struct Edge {
int v;
int weight; // 邊的資訊
};
vector<Edge> neighbor;
};
vector<Node> graph;其他方法
比較少用到的東西
- 每個格子都是一個點
- 反正要用的時候會用就好了(?
網格座標(?)
- 就 把輸入進來的邊丟到一個 list 裡面
邊串列 Edge List
int n, m;
cin >> n >> m;
vector<pair<int, int>> edges;
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
edges.push_back({u, v});
}遍歷
Traversal.
Graph traversal refers to the process of visiting each node in a graph".
Wikipedia
「圖的遍歷代表以某種方式走過圖的每個點」
這次夠白話了吧
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
DFS
0
1
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
DFS
0
1
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
DFS
0
1
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
DFS
0
1
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
DFS
0
1
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
DFS
0
1
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
DFS
0
1
等等 是不是哪裡怪怪的
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
DFS
0
1
等等 是不是哪裡怪怪的
：那記錄上一個點是誰，然後不要往回走啊
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
- 記錄上一個點是誰，不要走過去
DFS
0
1
2
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
- 記錄上一個點是誰，不要走過去
DFS
0
1
2
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
- 記錄上一個點是誰，不要走過去
DFS
0
1
2
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
- 記錄上一個點是誰，不要走過去
DFS
0
1
2
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
- 記錄上一個點是誰，不要走過去
DFS
0
1
2
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
- 記錄上一個點是誰，不要走過去
DFS
0
1
2
好像還有哪裡怪怪的欸
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
- 記錄上一個點是誰，不要走過去
DFS
0
1
2
改成記錄走過的點？
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
- 記錄走過的點
DFS
0
1
2
3
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
- 記錄走過的點
DFS
0
1
2
3
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
- 記錄走過的點
DFS
0
1
2
3
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
- 記錄走過的點
DFS
0
1
2
3
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
- 記錄走過的點
DFS
0
1
2
3
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
- 記錄走過的點
DFS
0
1
2
3
2 號節點表示自己被排擠了
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 既然任何一種方式走過都可以，那我旁邊有一個點就走過去如何？
- 記錄走過的點
DFS
0
1
2
3
要回溯看看之前的其他點，所以我們採用遞迴
- 深度優先搜尋 / 遍歷
- 對於每個點連到的所有點，如果還沒拜訪過就繼續 DFS
- 記錄是否拜訪過哪個點
- 樹可以不用記錄
DFS
vector<vector<int>> graph;
vector<bool> visited;
void dfs(int cur) {
visited[cur] = true;
for (int i = 0; i < graph[cur].size(); i++) {
int nxt = graph[cur][i];
if (!visited[nxt]) dfs(nxt);
}
}記得在進點時就要記錄 visited
不然你會兩個點一直來回跳
- 啊 真的就是提供你一種方式走過所有連通的點
- 可以處理相鄰節點的問題
- 可以處理兩點連通的問題
DFS 能幹嘛
- 淹水問題：淹水會怎麼淹？
BFS
0
1
1
2
1
1
- 淹水問題：淹水會怎麼淹？
BFS
0
1
1
2
1
1
- 淹水問題：淹水會怎麼淹？
BFS
0
1
1
2
1
1
- 淹水問題：淹水會怎麼淹？
BFS
0
1
1
2
1
1
你會發現，距離越近的點淹得越快
- 淹水問題：越近的點越早淹到
- 同樣要記錄淹過的點，原因同 DFS
BFS
0
1
1
2
1
1
- 淹水問題：越近的點越早淹到
- 同樣要記錄淹過的點，原因同 DFS
BFS
0
1
1
2
1
1
如何知道下一輪要淹哪？
- 淹水問題：越近的點越早淹到
- 同樣要記錄淹過的點，原因同 DFS
BFS
0
1
1
2
1
1
你可以在淹一輪後掃過整個點集
如果這個點有淹水且它的鄰居沒有淹就淹下去
- 淹水問題：越近的點越早淹到
- 同樣要記錄淹過的點，原因同 DFS
BFS
0
1
1
2
1
1
你可以在淹一輪後掃過整個點集
如果這個點有淹水且它的鄰居沒有淹就淹下去
時間複雜度？
BFS
0
1
1
2
1
1
時間複雜度？
- 總共要淹 k 次，其中 k 是點到最遠點的距離
- 每次要檢查 個點，最壞情況
|V|
O(|V|^2)
BFS
0
1
1
2
1
1
時間複雜度？
- 總共要淹 k 次，其中 k 是點到最遠點的距離
- 每次要檢查 個點，最壞情況
|V|
O(|V|^2)
花太多時間決定下一輪淹哪了
小觀察
0
1
4
5
2
3
- 只有淹水範圍最外圍的鄰居會被淹到
- 鄰居要是還沒淹過水的那些
- 每做一輪就將符合條件的點記錄下來！
Next: \{1, 2, 3, 4\}
小觀察
0
1
4
5
2
3
- 只有淹水範圍最外圍的鄰居會被淹到
- 鄰居要是還沒淹過水的那些
- 每做一輪就將符合條件的點記錄下來！
Next: \{1, 2, 3, 4\}
小觀察
0
1
4
5
2
3
- 只有淹水範圍最外圍的鄰居會被淹到
- 鄰居要是還沒淹過水的那些
- 每做一輪就將符合條件的點記錄下來！
Next: \{2, 3, 4, 2?\}
小觀察
0
1
4
5
2
3
- 只有淹水範圍最外圍的鄰居會被淹到
- 鄰居要是還沒淹過水的那些
- 每做一輪就將符合條件的點記錄下來！
- 在記錄符合條件的點時，就記錄 visited
Next: \{2, 3, 4, 2?\}
小觀察
- 只有淹水範圍最外圍的鄰居會被淹到
- 鄰居要是還沒淹過水的那些
- 每做一輪就將符合條件的點記錄下來！
- 在記錄符合條件的點時，就記錄 visited
時間複雜度？
每個點被經過一次 + 每條邊最多被處理兩次
O(|V|+|E|)
小觀察
- 空間？
- 你會發現，走過的點就不用記錄了
- 使用一個 queue 記錄下一輪應該有哪些點，用完 pop 掉可以省一些空間
vector<vector<int>> graph;
void bfs(int origin) {
queue<int> nexts;
vector<bool> visited;
while(!nexts.empty()) {
int cur = nexts.front();
nexts.pop();
for (int i = 0; i < graph[cur].size(); i++) {
int nxt = graph[cur][i];
if (!visited[nxt]) {
visited[nxt] = true;
nexts.push(nxt);
}
}
}
}在 push 進 queue 時就要記得 visited!
小觀察：把 queue 換成 stack 就是在 dfs 了
但通常會用遞迴啦 好寫
- 不帶權時可以找最短路
- 記錄自己上個節點即可
- 應該很輕鬆可以得到第一次碰到某節點時一定是最短路徑碰到的
- 帶權時會發生什麼？
- 某種方式跑過整個圖
- 處理相鄰節點的問題
用途
- 那這樣 DFS 聽起來很沒用欸
- DFS 主要是好實作，碼短
- 之後會用到
蛤
- 在網格座標上 BFS、DFS 時找鄰近點都很方便...嗎？
- 二維網格座標 (x+1, y+1), (x, y+1), (x-1, y+1)... 有 8 個鄰居
- ：其實還行啊
- ：如果是三維的呢
網格座標
const int dx[] = {1, 0, -1};
const int dy[] = {1, 0, -1};
void dfs(int cur_x, int cur_y, const vector<vector<int>> &graph) {
vector<vector<bool>> visited(graph.size(), vector<bool> graph[0].size());
for (int i: dx)
for (int j: dy)
if (!visited[cur_x + i][cur_y + j])
visited[cur_x + i][cur_y + j] = true,
dfs(cur_x + i, cur_y + j, graph);
}把重複的部分換成迴圈
如果你只要上下左右就自己調整吧
二分圖的課時會講更酷的做法
iscoj 4534 (電研一四學術上機考 B3)
補：2023 APCS 10月場 P3 / ZJ m372
但我懶得用 DFS 題解在後面 DSU
演算法 - 圖論[0]
By 海之音
演算法 - 圖論[0]
[ 建北電資聯合小社 / 四校聯合放課 ] - 圖論[0] / Graph Theory[0]
