Nikos Anastasakis
Physics Teacher at Chania - Crete
Απλή Αρμονική Ταλάντωση
Χαρακτηριστικές Θέσεις & Μεγέθη Ταλάντωσης
- Θέση Ισορροπίας (...εκεί όπου...)
- Απομάκρυνση από την Θ.Ι. , "Πλάτος" ...
- Περίοδος, συχνότητα, κυκλική συχνότητα ...
- Φάση ταλάντωσης ...
- Ταχύτητα, επιτάχυνση...
\sum \vec{F}=0
∑F=0
\vec x
,
A
x,A
\ T, f, \omega
T,f,ω
\omega \cdot t + \varphi_o
ω⋅t+φo
\vec \upsilon
,
\vec a
υ,a
Συνθήκη για αμείωτη α.α.τ
Στην τυχαία θέση,
το αντικείμενο που ταλαντώνεται δέχεται συνισταμένη δύναμη ανάλογη της απομάκρυνσης, με κατεύθυνση προς την Θ.Ι.
όπου D , η σταθερά επαναφοράς που εξαρτάται από το είδος του ταλαντωτή (π.χ. στο σύστημα ελατήριο μάζα, D = k)
\color{Blue}{\sum F=-D\cdot x}
∑F=−D⋅x
Εξισώσεις
- Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης
\color{Green}{x=A\cdot \eta \mu (\omega t+\varphi _o)}
x=A⋅ημ(ωt+φo)
\color{Blue}{\upsilon =\color{Red}{\omega A}\cdot\sigma \upsilon \nu (\omega \cdot t+\varphi _o)}
υ=ωA⋅συν(ω⋅t+φo)
\alpha=-\omega^2\color{Green}{A\cdot \eta \mu (\omega t+\varphi _o)}
α=−ω2A⋅ημ(ωt+φo)
\color{Red}{\omega \cdot \ A = \upsilon_{max}}
ω⋅ A=υmax
- Η μέγιστη επιτάχυνση
\omega^2 \cdot \ A = \alpha_{max}
ω2⋅ A=αmax
\alpha=-\omega^2\cdot \color{Green}{\ x}
α=−ω2⋅ x
ή
Διαγράμματα
- Τα μεγέθη α,υ,x, διαφέρουν μεταξύ τους κατά π/2:
\alpha \rightarrow^{\pi /2}\upsilon \rightarrow^{\pi / 2}x
α→π/2υ→π/2x
- Η απομάκρυνση και η επιτάχυνση βρίσκονται σε αντίθεση φάσης
Επιπλέον...
ο τριγωνομετρικός κύκλος / στρεφόμενα διανύσματα
Αναπαράσταση της ταλάντωσης με ένα στρεφόμενο διάνυσμα μήκους Α, που στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω
Σχέσεις μεγεθών - Γραφικές παραστάσεις
- Σταθερά επαναφοράς:
D = m\cdot \omega ^2
D=m⋅ω2
- Περίοδος ταλάντωσης:
T=2\cdot{\pi}\sqrt{m\over{D}}
T=2⋅πDm
Διάγραμμα Φάσης - Χρόνου
Διάγραμμα Δύναμης Επαναφοράς - Απομάκρυνσης
\phi=\omega \cdot t + \varphi_o
ϕ=ω⋅t+φo
F_{\epsilon \pi} = -D \cdot x
Fϵπ=−D⋅x
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Στο διπλανό σύστημα:
- Να δείξετε ότι αν το απομακρύνουμε από την Θέση Ισορροπίας, θα εκτελέσει α.α.τ. Πόση είναι η περίοδος του;
- Θεωρώντας ότι την χρονική στιγμή μηδέν βρίσκεται στην θέση x = +A/2 και κινείται προς τα κάτω, να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου. (Θετική φορά προς τα κάτω)
- Να παραστήσετε γραφικά την συνισταμένη δύναμη που δέχεται το βαρίδι, σε συνάρτηση i) με την απομάκρυνση x ii) με τον χρόνο t
- Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του ταλαντωτή τις χρονικές στιγμές t1 = 0, και t2 = T/4
- Πόσος είναι ο ελάχιστος χρόνος που χρειάζεται για να μετακινηθεί ο ταλαντωτής από την θέση x1=A/2 στην θέση x2=0
Ενέργεια ταλάντωσης
- Ισούται με την ενέργεια που προσφέρουμε αρχικά στο σύστημα για να αρχίσει να ταλαντώνεται
...Εμφανίζεται ως:
K=\frac{1}{2}\cdot{m}\cdot{\upsilon^2 }
K=21⋅m⋅υ2
- Κινητική
- Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης
U=\frac{1}{2}\cdot{D}\cdot{x^2 }
U=21⋅D⋅x2
- Το άθροισμα τους παραμένει σταθερό στην διάρκεια της αμείωτης ταλάντωσης.
E=\color{Blue}{\frac{1}{2}\cdot{m}\cdot{\upsilon^2 }+\frac{1}{2}\cdot{D}\cdot{x^2 }} = \color{Red}{\frac{1}{2}\cdot{m}\cdot{{\upsilon_{max}}^2 }} = \color{Green}{\frac{1}{2}\cdot{D}\cdot{A^2 }}
E=21⋅m⋅υ2+21⋅D⋅x2=21⋅m⋅υmax2=21⋅D⋅A2
Διαγράμματα Ενέργειας Ταλαντωτή
- Συναρτήσει απομάκρυνσης x
- Συναρτήσει του χρόνου t
\color{Red}{K=E-\frac{1}{2}\cdot {D}\cdot{x^2}}
K=E−21⋅D⋅x2
\color{green}{U=\frac{1}{2}\cdot {D}\cdot{x^2}}
U=21⋅D⋅x2
\color{Red}{K=E\cdot{\sigma \upsilon \nu ^2(\omega \cdot{t})}}
K=E⋅συν2(ω⋅t)
\color{Green}{U=E\cdot{\eta \mu ^2(\omega \cdot{t})}}
U=E⋅ημ2(ω⋅t)
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Ένα μικρό σώμα μάζας m=0,5kg βρίσκεται αρχικά ακίνητο, κρεμασμένο στο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου.
Του προσφέρουμε ενέργεια Ε =16J ώστε να αρχίσει να εκτελεί α.α.τ συχνότητας f = 2Hz:
- Υπολογίστε την σταθερά του ελατηρίου καθώς και το πλάτος της ταλάντωσης.
- Πόση είναι η μέγιστη τιμή της ταχύτητας ταλάντωσης;
- Υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας του ταλαντωτή την στιγμή που αυτός βρίσκεται στην θέση x1 = A/2
- Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής του ενέργειας, στην θέση x1 = A/2
- Σε ποιες θέσεις η κινητική και η δυναμική ενέργεια του ταλαντωτή γίνονται ίσες;
- Να παραστήσετε γραφικά την δυναμική, την κινητική και την ολική του ενέργεια, σε συνάρτηση με την απομάκρυνσης x.
- Να παραστήσετε γραφικά την δυναμική, την κινητική και την ολική του ενέργεια, σε συνάρτηση με τον χρόνο. (Θεωρείστε ότι την t0 =0, ο ταλαντωτής βρίσκεται στην θέση ισορροπίας του και κινείται με θετική ταχύτητα)
Απλή Αρμονική Ταλάντωση
Ταλαντώσεις
By Nikos Anastasakis
Ταλαντώσεις
Αμείωτη Ταλάντωση
- 1,779
